Решение задачи по оптике. Бред или не бред?

[Munin]

При чём тут быстро? $\alpha\approx 1/\text{год}.$

[Xey]

Это если $a$ в минус восьмой степени, а если бы в плюс восьмой, то было бы похоже на реальную скорость изменения $n$.

Если бы
$\ \alpha=3\cdot10^{8} s^{-1}$.
$c= 3\cdot10^{8} m/s$.
$\Delta=0.1 m,\ $
добавка

tech в сообщении #1016919 писал(а):

$\frac{\alpha}{c}\Delta$.

была бы 0.1

[Munin]

Это число было два раза повторено. Может быть, здесь и опечатка, но выяснить можно только у ТС.

[tech]

Чёрт, я только сейчас понял, что по моим вычислениям изменение длительности импульса тоже есть.
Ведь $a(t)$ переходит в

$$a\bigg(t\Big(1-\frac{\alpha\Delta}{c}\Big)-\frac{n_0\Delta}{c}\bigg)$$

То есть при $t$ есть множитель меньше $1$, отвечающий как раз таки за растяжение сигнала во времени в $(1-\frac{\alpha\Delta}{c})^{-1}\approx 1+\frac{\alpha\Delta}{c}$ раз.

[Xey]

Изменять оптическую длину можно меняя показатель преломления или геометрическую длину.
В случае изменения длины вопрос звучит привычней
С какой скоростью должно двигаться зеркало линии задержки , чтобы отраженая волна удлиннилась на 10% ?

[Munin]

amon в сообщении #1016913 писал(а):

Честно сказать, не понял для чего.

Кристалл - это оператор, действующий на волну. В пространстве изображений (image domain) он действует проще, чем в пространстве оригиналов. Если заданный кристалл представить как постоянный плюс возмущение, то возмущение в пространстве изображений тоже может оказаться проще. Какие-то такие соображения.

Впрочем, ТС добил задачу, пока я глубокомысльтествовал...

[amon]

Munin в сообщении #1017217 писал(а):

Впрочем, ТС добил задачу, пока я глубокомысльтествовал...

Боюсь, что не до конца, еще шевелится.

tech в сообщении #1016799 писал(а):

Волна на выходе выглядит так:

$$C(\omega)e^{i\omega t}e^{-ik\Delta}d\omega=C(\omega)e^{i\omega t}e^{-i\frac{\omega}{c}n(t)\Delta}d\omega,\ n(t)=n_0+\alpha t$$

Здесь молчаливо предполагается, что $\frac{\omega}{c}n(t)=k$, что для уравнения $\Delta E-\frac{n^2(t)}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0$ еще доказать надо. Заменой переменных $\tau=n_0+\alpha t$ уравнение сведется к $\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} -\frac{\alpha^2\tau^2}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial \tau^2}=0.$. Его частные решения - что-то вроде $\exp\left(i\left(kx-\left(\sqrt{1/4+c^2k^2}+1/2\right)\ln \tau\right)\right)$, и $\frac{\omega}{c}n(t)=k$ тут еще искать и искать.

-- 19.05.2015, 16:49 --

Munin в сообщении #1017217 писал(а):

Кристалл - это оператор, действующий на волну. В пространстве изображений (image domain) он действует проще, чем в пространстве оригиналов. Если заданный кристалл представить как постоянный плюс возмущение, то возмущение в пространстве изображений тоже может оказаться проще. Какие-то такие соображения.

Я правильно понял, что если это перевести с латыни на латинский, то получится $D(t)=\int\varepsilon(t-t')E(t')dt'\;\Rightarrow\;D(\omega)=\varepsilon(\omega)E(\omega)$?

[Munin]

Нет, я имел в виду вещь попроще. $D=\varepsilon E,$ безовсяких, но когда мы записываем это уравнение во всём пространстве-времени, $\varepsilon$ есть штука переменная по координатам и времени. И соответственно, в волновом уравнении (или УМ, хотя мне кажется, там всё хорошо - ещё не считал), имеется переменный коэффициент. Он и есть тот оператор, (точнее, даламбертиан с этим коэффициентом есть дифференциальный оператор), о котором я говорил.

Пардон за слишком вульгарную латынь :-)

[tech]

Я действительно ошибся: $\alpha=3\cdot10^{8}$, то есть решение с разложением в спектр даёт тот же результат, что и решение с рассмотрением начала и конца импульса.

Однако ж в решении с рассмотрением начала и конца импульса есть недостаток: оно не позволяет ответить на вопрос об изменении средней частоты. Ведь из того, что изменилась длина импульса, не следует, что изменилась частота несущей.

amon в сообщении #1017244 писал(а):

Его частные решения - что-то вроде $\exp\left(i\left(kx-\left(\sqrt{1/4+c^2k^2}+1/2\right)\ln \tau\right)\right)$

А вот это просто прекрасно. Пожалуй, поделюсь этой новостью с преподавателем.

[Xey]

tech в сообщении #1018025 писал(а):

Ведь из того, что изменилась длина импульса, не следует, что изменилась частота несущей

Дисперсии же нет, $\alpha\ $ не зависит от частоты, все растягивается одинаково.

[amon]

tech в сообщении #1018025 писал(а):

Пожалуй, поделюсь этой новостью с преподавателем.

Подозреваю (не проверял), что если логарифм поразлагать в Тейлора, то ответ опять совпадет.

Xey в сообщении #1018051 писал(а):

Дисперсии же нет

А зависимость показателя преломления от времени как-то по-другому называется?

[Xey]

amon в сообщении #1018058 писал(а):

А зависимость показателя преломления от времени как-то по-другому называется?

Нет для этого специального названия. А зависимость показателя от длины волны называют дисперсией видимо исторически. Именно наличие дисперсии в материале призмы разбрасывает по экрану волны разных цветов.

[amon]

Xey в сообщении #1018091 писал(а):

зависимость показателя от длины волны называют дисперсией

Дико извиняюсь за лекторско-поучительский тон, но...
Дисперсией называется зависимость диэлектрической проницаемости от чего-нибудь. Если диэлектрическая проницаемость зависит от координат, то это - пространственная дисперсия, она вещь слабая, редкая и нам сейчас не интересна. Если от времени, то это временная дисперсия, та самая, которая свет в радугу разлагает. Диэлектрическая проницаемость связывает вектора $D$ и $E.$ Если внешних воздействий нет (свет взаимодействует с веществом, и все), то из-за трансляционной инвариантности во времени формула будет $D(t)=\int\varepsilon(t-t')E(t')dt'$ (в задаче ТС будет другая, но там что-то надо руками крутить что бы получить нужную зависимость). Если с помощью преобразования Фурье перейти к частотам, то получится $D(\omega)=\varepsilon(\omega)E(\omega)$, этом случае показатель преломления равен $n=\sqrt{\varepsilon(\omega)}$, и частота (только в этом случае!) связана с длиной волны соотношением $\frac{\omega}{c}n(\omega)=\frac{2\pi}{\lambda}$. Для разных длин волн будет разный показатель преломления итд. Т.е. причиной дисперсии является зависимость от времени (запаздывание) отклика вещества на электрическое поле.

В задаче ТС зависимость от времени прописана явно, и это типичная дисперсия, только эту зависимость нарисовали руками сразу в показателе преломления, что не есть хорошо (показатель преломления - величина вторичная и расчетная, первична диэлектрическая проницаемость). Если такую $n(t)$, тем не менее, тупо подставить в волновое уравнение, то плоские волны перестанут быть его решением, а вместо них появится нарисованный мной зверь с логарифмом (или что-то похожее, второпях мог ошибиться), и вся наука о $\frac{\omega}{c}n(\omega)=\frac{2\pi}{\lambda}$ пойдет под откос. Что-то спасти удастся только если $\alpha t$ мало по сравнению с $n_0$. Поэтому мне задача и не понравилась. Она явно превышает возможности среднего студента.