Дискуссия о единственно верном понимании тензора

Munin · 30/01/06 72407

А, ну тогда понятно, и почему вы так сосредоточены на поведении тензоров под преобразованиями пространства, и откуда мешанина в голове. Я сам через это проходил.

Ничего, пройдёт (если будете побольше умных людей слушать, например, по поводу математических понятий - математиков). Надо только не считать, что ваше личное мнение и впечатление о чём-то - единственно правильное.

(И практический совет. Если вы в себе очень уверены - направляйте эту уверенность не в то, чтобы доказывать свою правоту на форумах. Направляйте её в то, чтобы создавать свой собственный новый результат, а потом публиковать его.)

maximav · 19/03/15 291

g______d в сообщении #1016954 писал(а):

maximav в сообщении #1016934
писал(а): принципе не вводимы без координат на множестве, которое мы превращаем в многообразия

Почему не вводимы? Ну замените в определении карты область в $\mathbb R^n$ на область в конечномерном векторном (или аффинном) пространстве, и будет вам счастье.

Увы, не получится. Карты в многообразии $M$ , а тензоры в "слоевых надстройках" над точками $P\in M$ . Забегая вперед, "ваша алгебра" об этом не знает.

Разница, а я выше не случайно утроил "разница/дифференциал/Дельта", как раз и обслуживают числа-координаты. И без них вы не введете касательные конструкции. С двумя точками $P_1$ , $P_2$ ничего не получится сделать, чтобы их сравнить, кроме как ввести координаты, а потом сравнивать/вычитать значения $\varphi(P_2)-\varphi(P_1)$ с последующим устремлением $P_2\to P_1$ . Моя "разница" хорошо определена сама по себе, "Дельта" - это то, что нам будет нужно во всяких пределах, а дифференциал как раз породит нам ковектор. В таком контексте я и имел в виду, что "разница" с очевидностью прикрепляется к точке $P_1$ . Согласитесь, что только через некий опосредованный скаляр вы вообще что-то сможете сравнивать в соседних местах на многообразии и вообще затевать математику на нем. От этого $\Delta\varphi|_P$ вы далее получаете его координатную реализацию $d\varphi|_P=\partial_\alpha\varphi(x) dx^\alpha$ и, вслед за этим, весь кокасательный слой $T^*_PM$ . Грубо говоря - а тема потока и есть "Грубое ..." - мои комментарии вокруг $P_1$ , $P_2$ и $\varphi$ были не более, чем аргументация/мотивация к природе и построению самого касательного пространства. Пардон, но так получается. Без его введения (=координаты), например постулируя "вашу" алгебру, без "нагораживания огорода внешних конструкций" вы не сдвинетесь ни на йоту, чтобы "банальными средствами" построить классический тензор. И, между прочим, вы по-прежнему ничего не достраиваете к множеству-многообразию $M$ , даже вводя на нем координаты. Я не случайно замечал, что мы по-прежнему остаемся с голым множеством с естественно введенной топологией. (Как рассказывают байки, Манин и Ко демонстрировали себя бескоординатно, а потом "закрывались в комнате и пересчитывали в координатах") . То есть просто ничего не надо городить, а все само по себе уже лежит (не на "поверхности", разве что).

g______d в сообщении #1017509 писал(а):

У меня создаётся впечатление, что целью указанной идеологии является построение всех объектов тензорного анализа с нуля

Не знаю, с чего это вы так решили? Я, например, даже наоброт всячески избегал такого "нуля". Иначе, с чего-бы то публика стала высказываться на счет кронекеровских $\delta_j^k$ . Если теперь вы повторите рассуждения выше для "касательных операторов", то будет видно, что с операторами не столь естественно. Это я и имел в виду, не более. Ну конечно, проблем нет (если не трогать сопряжения), но вопрос в том, с чего стартуем не только для математики важен. Для физики, он вообще поперек горла всегда. Никакие поля никогда не жили в многообразиях (кроме скаляров

) и не рождались "естественно" в алгебраических аксиомах типа приведенной вами выше формализованной версии (я против нее, как формальной конструкции, кстати ничего и не имею). А вот то что Вы писали про Лебница, как я вижу по вашему посту,
это "алгебраически формальный лейбниц" $$L(uv) = vL(u)+uL(v),$$

а вовсе не "300-летней давности". "Старый лейбниц" - это как раз-таки на числах и только на числах: $$(f(x)g(x))'=g(x)f'(x)+f(x)g'(x),$$

Образно выражаясь "мой лейбниц", который я упомянул в связи с "неизбежными координатами", не только естественно возникает на координатах. Он с ними "пришел как бесплатное приложение". Ваша версия - это алгебраическая, но для "касательных нужд" она не более чем дымовая завеса на "банальную координатизацию, легко проглатываемую любым дауном-студентом". Вводить "абстрактного лейбница" тоже не трудно, но это другая "печка, от какой стартуем". Попробуйте физикам печку просто так поменять. А вопросы здесь в потоке закрутились не вокруг определений (уже подчеркивал, пардон), а вокруг мотивировок: "а с чего это вдруг вы вводите ...?". Для моей "кокасательной мотивировки" выше вопросы в такой постановке даже не появляются. А с формальной алгеброй они лезут на каждом шагу. Дважды пардон еще раз, но именно от "формально голых чисел" и завязалась "разноголосица".

По поводу "сущностей". Неужели трудно догадаться, что это не более, чем "более доходчивая бирка" для "аккуратных слов". Вроде и рожицы вставлял (которых не люблю). Замените "сущность, природу" и подобные "физические слова" на "геометрический объект", "математическая надстройка/конструкция" и все будет ок. К чему буквоедство?... да здравствует "смыслоедство"

g______d в сообщении #1017509 писал(а):

Ну "для лично вашей физической интуиции" -- хорошая оговорка

За "моими самоочевидными деревьями" лес лучше видеть. Да и между строк не трудно читать.

g______d в сообщении #1017509 писал(а):

3) Подготовить площадку для обобщений:

Вот как раз-таки для этого переход от дифГеомКасатСлоев к более общему и становится более чем естественным. Природа старой конструкции "обнажена догола" и сразу видно, где/что менять можно и нужно. Нагружай абстрактную точку $P$ всякими ЛВП, группами и т.д. Замечательная физика и математика естественным образом возникает.

timots · 18/06/10 323

О чем спор?
Тензоры не являются матрицами, но в конечном измерении они однозначно отображаются в матрицы. Так как все свободные модули конечного ранга отображаются в матрицы.
В бесконечномерном пространстве это не так. Тензоры могут быть не матрицами, а матрицы не тензорами.
Поэтому символы Кристоффеля не являются тензорами. Они преобразуются по другим правилам.
Символы Кронекера являются тензорами 2-го ранга n мерного пространства.
Понятие ковариантности и контравариантности проще всего представить как умножения матрицу на прямую матрицу и как умножение на матрицу обратную матрицу.

Утундрий · 15/10/08 12501

timots в сообщении #1017958 писал(а):

О чем спор?

Об определениях. То есть, самый дурацкий вид спора.

g______d · 08/11/11 5940

maximav в сообщении #1017910 писал(а):

Вот как раз-таки для этого переход от дифГеомКасатСлоев к более общему и становится более чем естественным. Природа старой конструкции "обнажена догола" и сразу видно, где/что менять можно и нужно. Нагружай абстрактную точку $P$ всякими ЛВП, группами и т.д. Замечательная физика и математика естественным образом возникает.

"всякие ЛВП, группы ... " можно построить на какой угодно основе. Я имел в виду другие обобщения. Например, некоммутативная геометрия. Или алгебраическая геометрия в характеристике $p$ . Там оказывается, что соответствующие "точки" руками потрогать очень сложно, но все или почти все алгебраические определения сохраняются. Ровно для этого алгебраические определения и нужны, в первую очередь.

maximav в сообщении #1017910 писал(а):

Увы, не получится. Карты в многообразии $M$ , а тензоры в "слоевых надстройках" над точками $P\in M$ . Забегая вперед, "ваша алгебра" об этом не знает.

Я могу формальное определение написать. Не верите?

maximav в сообщении #1017910 писал(а):

С двумя точками $P_1$ , $P_2$ ничего не получится сделать, чтобы их сравнить, кроме как ввести координаты, а потом сравнивать/вычитать значения $\varphi(P_2)-\varphi(P_1)$ с последующим устремлением $P_2\to P_1$ .

Я долго пытался понять, как характеризовать то, что Вы делаете, и ничего, кроме слова "схоластика" не придумал. Вы пытаетесь описать сущность классических (не-инвариантных) определений тензора, используя некий псевдо-физический язык. Заменяете достаточно короткие точные определения на длинные объяснения, содержащие десятки кавычек. Какие-то вещи даже в целом правильные (хотя приходится читать между ваших строк -- зачем? Почему сразу не написать как есть?). Но я не вижу общего смысла. Физикам нужны чиселки, как Munin говорит. Математикам нужны инвариантные и обобщаемые определения, а также перевод на язык физиков и обратно; а также не-инвариантные эквивалентные определения, если в них удобно что-то считать (не закрывался в комнате для вычислений в координатах, наверное, только Гротендик, да и то не известно).

Утундрий · 15/10/08 12501

g______d в сообщении #1018086 писал(а):

Я долго пытался понять, как характеризовать то, что Вы делаете, и ничего, кроме слова "схоластика" не придумал.

Посмотрите чуть выше, я там это по-латинскому описал...

Munin · 30/01/06 72407

g______d
У меня другая мысля. Соответствующие инвариантные определения давно известны математикам. Только носят название не тензоров, а представлений групп (симметрии).

maximav · 19/03/15 291

Вы сначала предлагали

g______d в сообщении #1015424 писал(а):

тензор на многообразии

потом

g______d в сообщении #1015455 писал(а):

тензор на касательном расслоении

потом защищали

maximav в сообщении #1015476 писал(а):

g______d в сообщении #1015455
maximav в сообщении #1015431
писал(а):
Коррекция: "данный набор чисел является ..." $\to$ "данный набор чисел может представлять ...".

Нет, это бессмысленная коррекция...

и в конце концов

g______d в сообщении #1016903 писал(а):

Ну я не знаю даже. Хотите инвариантное определение?

g______d в сообщении #1018086 писал(а):

Я могу формальное определение написать. Не верите?

Дефинициями ничего не решается; в принципе. Можете прикреплять к точкам аффинные пр-ва и даже называть их "касательными названиями и лейбницами". Не спасет. Аккуратное понимание классического тензора невозможно без инвариантной ПЕРЕФОРМУЛИРОВКИ/представления КООРДИНАТНОГО построения того, что называется классическим касательным пространством и того, (!) ИЗ ЧЕГО оно состоит. Короче, перезапись дифференциального представления тензоров в бескоординатную форму. Я здесь дважды растолковывал про $\varphi(P)$ . Ваша реакция на это такова, что вы просто никогда не задумывались о природе построения (ко)касательных пр-в, беря/ограничиваясь лишь рафинированным определением. Поэтому слова про "две точки" $P_1$ , $P_2$ и предел $P_2\to P_1$ ничего вам не говорят и являются схоластикой (на всякий случай https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1 ... 0%BA%D0%B0). Это бы даже и не страшно, но

g______d в сообщении #1018086 писал(а):

Я долго пытался понять, как характеризовать то, что Вы делаете

есть не что иное как показатель отсутствия физической и даже математической интуиции (не грех и не недостаток; просто явление). С некоторых постов вы стали уводить в сторону, предлагая дискуссию потока о соотношении "чисел" с "инвариантностью" подменить на "ВВЕСТИ определение с целью обобщить". Типичная подмена ценностей/сущностей на интерес. Пожалуйста вводите (лучше в другом потоке

), в вашей квалификации никто не сомневается; но к чему это здесь? (см. название потока, навязанное Утундрием). Впрочем, мыслить (и даже стремление мыслить) в рамках названий, а не их содержаний, это распространенная практика (не возбраняется, кстати, если нужды нет). Не сочтите за труд, сделайте CTRL+F, F3 (search) у меня в постах на слово определение и прочтите там вокруг, если надумаете отвечать, употребляя слова "определение", "ввести" и т.п. Навязываемый subtopic про "об определении" закрывается; устал.

Чтобы поток не походил на гуманитарную болтовню, выбрали бы уж лучше что-нибудь из моих утверждений (их полно выше), приставьте/вставьте к нему "отрицание" и объявите это вашим тезисом; возражение по-существу называется. Предметность - это когда имеется бинарность. Пока что видны лишь ваши (и не только) прилагательные, охарактеризовывающие maximav'а; только не подумайте... продолжайте в таком же духе. Для усиления "эффекта" поощряю вас. Заявите, например, как свой, некий антитезис maximav'а типа

(пример)
maximav'ское кокасательное пр-во к многообразию $M$ , с его скалярами, требует для построения большего, чем самоочевидное g______d'ское построение касательного к $M$ пр-ва с помощью дифференциального оператора первого порядка с лейбницем ...

и растолкуйте, почему это очевидно; "в глубокой уверенности, что у меня будут проблемы опровергнуть". Можете даже потренироваться. Предложите, например, некое "крайне безапеляционное" утверждение, типа

Конечномерное векторное пр-во имеет числовой инвариант, называемый размерностью

Я обещаю вам не реагировать на вашу "безапеляционность", но честно пытаться доказывать противное, а потом, в силу своей ошибки, присоединиться/поддержать правоту и "самоуверенность g______d'а"... Или наоборот. Если еще не понятно, то побольше ноликов-единичек и поменьше blah-blah-blah, пожалуйста.

g______d · 08/11/11 5940

maximav в сообщении #1018416 писал(а):

Пока что видны лишь ваши (и не только) прилагательные, охарактеризовывающие maximav'а

По-моему, я достаточно аккуратно пытался отделить вашу личность от ваших высказываний, ну да ладно.

maximav в сообщении #1018416 писал(а):

Чтобы поток не походил на гуманитарную болтовню, выбрали бы уж лучше что-нибудь из моих утверждений (их полно выше), приставьте/вставьте к нему "отрицание" и объявите это вашим тезисом; возражение по-существу называется. Предметность - это когда имеется бинарность.

Это не так просто. Хотя вы и обвиняете меня в отсутствии физической и математической интуиции, мне довольно сложно спорить с утверждениями, по существу гуманитарными.

maximav в сообщении #1018416 писал(а):

maximav'ское кокасательное пр-во к многообразию $M$ , с его скалярами, требует для построения большего, чем самоочевидное g______d'ское построение касательного к $M$ пр-ва с помощью дифференциального оператора первого порядка с лейбницем ...

и растолкуйте, почему это очевидно; "в глубокой уверенности, что у меня будут проблемы опровергнуть". Можете даже потренироваться. Предложите, например, некое "крайне безапеляционное" утверждение, типа

Ну а что, давайте попробуйте. Напишите точное (в разумном математическом понимании) определение вашего кокасательного пространства, без бла-бла-бла.

pon4ik · 23/05/15 8

Надо, конечно, трижды подумать, прежде чем писать что-то в такого рода топике, но все же.

Пожалуйста, приведите мне пример тензора, который нельзя понять, не зная, что такое тензор.

Желательно пример из математики(а не из физики).

arseniiv · 27/04/09 28128

Просто поинтересоваться: а что значит понять тензор?

Munin · 30/01/06 72407

pon4ik в сообщении #1018883 писал(а):

Пожалуйста, приведите мне пример тензора, который нельзя понять, не зная, что такое тензор.

Ну не знаю, вы трилинейные или кубические формы не пробовали исследовать?

maximav · 19/03/15 291

g______d в сообщении#1018500 писал(а):

... я достаточно аккуратно пытался отделить вашу личность от ваших высказываний,...

Вот не сказал бы. Иначе не был бы вынужден употреблять персонифицированные "вы". "Личности" вообще не должны возникать в постах; в принципе... и баста! И тем более, сколько классов образования у maximav'а. Отсюда прямая дорога к "естественным аргументациям/выводам" типа

Munin в сообщении #1017773 писал(а):

А, ну тогда понятно ...
И практический совет ...

коль скоро "ассистент кафедры", а не дфмн по матфизике (правда есть второе, к слову говоря). Подмена формы на содержание, как видим, имеет место не только в вопросах "тензор vs числа".

g______d в сообщении #1018500 писал(а):

...ну да ладно.

Поддерживаю обеими руками.

g______d в сообщении #1018500 писал(а):

Ну а что, давайте попробуйте. Напишите точное ... определение вашего кокасательного пространства, без бла-бла-бла.

По поводу определений я уже устал высказываться, но вы вероятно хотите видеть ПОСТРОЕНИЕ того, что потом назовется кокасательным пространством. Это уже было; и с массой сопутствующих комментариев и мотивировок. К счастью, здесь настолько все элементарно, что определение и построение формулируются одной "гуманитарной" фразой:

maximav в сообщении#1017200 писал(а):

... образуя дифференциалы скаляров и множа их на сами скаляры... получая при этом кокасательные слои со всем их тензорным хозяйством.

То есть, кокасательное пр-во - это пространство дифференциалов скалярных полей, помноженных на сами поля. И смыслы крутятся здесь вокруг уже писанной формулы

maximav в сообщении #1017910 писал(а):

$d\varphi|_P=\partial_\alpha\varphi(x) dx^\alpha$

Когда координатные формулировки отшлифованы, в том смысле, что осознано, где числа не более чем значки, начинаем переписывать "огород" без координат, например $\omega(P)=\omega_{jk}(P)\boldsymbol{\mathrm{e}}^j\otimes \boldsymbol{\mathrm{e}}^k$ и это, согласен с вами, лучшая дорога к обобщениям. К примеру, моя интуиция

подсказывает мне, что в вашей ремарке

g______d в сообщении#1018086 писал(а):

Например, некоммутативная геометрия... Там оказывается, что соответствующие "точки" руками потрогать очень сложно, но все или почти все алгебраические определения сохраняются

вы, наверно, имеете в виду градуированные супермногообразия, поскольку там геометрическое понятие "точки многообразия" теряет стандартный смысл, однако все формальные дифференциально-алгебраические конструкции с тензорными полями продолжают работать. Со схемами ничего не могу сказать, там мои знания нулевые, а попытки понять завершались на попытках въехать в мотивировки. Для меня мотивировки - это 90% дела. Определения после этого уже ничего (мне) не дают, а calculus развивать - дело привычки, времени и техники.

Xaositect · 06/10/08 6422

Суть как раз не в том, что мы переписываем одно и то же в координатах и без. Суть в том, что инвариантное определение часто дает понимание того, а на что же мы смотрим.
Например, кокасательное пространство в точке $P$ можно определить как $I_P/I^2_P$ , где $I_P$ - идеал (дифференцируемых) функций, равных нулю в точке $P$ .
Почему я считаю, что это определение лучше координатного? Потому что на мой взгляд, оно лучше отражает смысл, который состоит в том, что мы рассматриваем поведение функций вблизи нашей точки с точностью до бесконечно малых первый порядка. А именно - раз мы рассматриваем только поведение функции, ее значение в самой точке неважно, и важна только разность $f - f(P)$ . Эти разности составляют $I_P$ . Раз мы расссматриваем только первый порядок изменений, мы принимаем, что произведением двух изменений можно пренебречь, то есть элементы $I^2_P$ считаются равными $0$ . Вот и получается собственно то, что надо.

И оказывается, что из-за того, что эти соображения более естественны, чем координаты, они одинаково работают в разных ситуациях - рассматриваем ли мы бесконечно дифференцируемые функции на дифференцируемых многообразиях, или аналитические функции на Римановых поверхностях, или рациональные функции на алгебраических многообразиях, или даже если нам не хватает обычных пространств, мы можем взять это определение и применить его к абстрактной конструкции, в которой есть точки и кольца, привязанные к этим точкам, даже если она получается формальным применением каких-то преобразований к многообразиям, но сама многообразию соответствовать не может (те же схемы, например).

Определение касательного пространства через дифференцирования отражает другой смысл - в этом случае мы хотим получить векторные поля как направления, вдоль которых можно дифференцировать. А потом можно доказать, что дифференциалы и дифференцирования двойственны друг другу с помощью того факта, что производная функции вдоль векторного поля зависит только от ее дифференциала, то есть локального поведения с точностью до первого порядка малости.

g______d · 08/11/11 5940