Дискуссия о единственно верном понимании тензора

[Oleg Zubelevich]

maximav в сообщении #1015367 писал(а):

Например объявили, что в одном базисе он есть $\delta_j^k$, а во всех других вычисляй по формуле, по какой надлежит иметь значения для тензора типа (1,1). Сделали, вычислили.

замечательно, вот во всех базисах задали один и тот же набор $\delta_i^j$ получили единичный оператор. в чем проблема? Вы ломитесь в открытую дверь, не надо вкладывать столько огня в банальные замечания и делать вид, что кроме вас это ни кому не понятно. Глупо выглядит.

maximav в сообщении #1015367 писал(а):

Пусть у меня есть тензор $A$, пусть он есть элемент ЛВП, являющегося тензорным произведением двух ЛВП, и пусть в некотором базисе (предъявите его!) его координаты есть числа

если ЛВП это локально выпуклое пространство, то определение тензорного произведения к топологии ни какого отношения не имеет

-- Пт май 15, 2015 10:08:39 --

maximav в сообщении #1015367 писал(а):

Например, Дубровин-Новиков-Фоменко пишут из книжки в книжку "тензор ... запись которого меняется....

В Дубровине Новикове Фоменко совершенно корректное определение, через указание закона преобразования компонент при замене базиса. Если Вам нравится какие-то их слова перетрактовать по-своему, что б получилось неправильно, то это Ваша проблема.

[maximav]

g______d в сообщении #1015371 писал(а):

Вы вот это

maximav в сообщении #1015019 писал(а):

Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора.

всё-таки, прокомментируете? Интересует слово "не".

Символ Кронекера - есть просто именное название для набора чисел с известным правилом. Обосновать мое "не" это также как и попросить меня обосновать, что дерево НЕ есть рыба. $\delta_j^k$ может представлять как набор скаляров, так и компоненты тензора, координаты оператора и еще много чего. Противоречия нет. За числами можно прятать какие-угодно сущности. Надеюсь ответил.

[g______d]

maximav в сообщении #1015377 писал(а):

Символ Кронекера - есть просто именное название для набора чисел с известным правилом.

Да. При этом существует такой тензор, что этот набор чисел является его компонентами в любом базисе. Поэтому говорить, что он не является набором координат тензора, а является набором скаляров, -- неправильно. Он является и тем, и другим.

[maximav]

Oleg Zubelevich в сообщении #1015372 писал(а):

maximav в сообщении #1015367 писал(а):

в чем проблема? Вы ломитесь в открытую дверь, не надо вкладывать столько огня в банальные замечания и делать вид, что кроме вас это ни кому не понятно. Глупо выглядит.

Продублируйте пожалуйста эту просьбу всем, кто здесь, в этом потоке отвечал на "банальные" вопросы тех, кто их задавал и даже снова стали; 8 страниц набралось. Помимо "вашей топологии" вам следовало бы указать мне еще, что "координаты многообразия" к тензорному произведению и ЛВП никакого отношения не имеют. Заранее сдаюсь на обвинение в том, что есть много чего, что я в паре-тройке последних постов не упомянул и что не имеет отношения к тензорному произведению.

-- 15.05.2015, 13:39 --

g______d в сообщении #1015381 писал(а):

maximav в сообщении #1015377 писал(а):

Символ Кронекера - есть просто именное название для набора чисел с известным правилом.

Да. При этом существует такой тензор, что этот набор чисел является его компонентами в любом базисе. Поэтому говорить, что он не является набором координат тензора, а является набором скаляров, -- неправильно. Он является и тем, и другим.

Когда я "доказывал" что дельта Кронекера есть не тензор, а набор скаляров, я привел контр-пример к той дельте, для которой "доказали, воспринимали ...", что она есть тензор. Но все-таки говорить "является и тем, и другим" тоже не хорошо. Набор скаляров редко когда может быть тензором. "Числовые значения могут совпадать, причем во всех координатах"... коротко, безошибочно и без трактовок. Как только трактовки, так сразу двусмысленности и искажения. Все от этого страдают в математике. Я в том числе.

Кстати, где-то здесь на форуме видел грандиозный поток с баталиями про "всякие ли три функции могут быть вектором". Если тот поток еще не закрыт, надо всех, кто там "ломится в открытую дверь" и тех, кто с "банальными вопросами" поставить на место. Как бы то ни было, факт остается фактом. Что такое тензор остается (во времени) большой методической проблемой и именно так где-то здесь уже и писалось.

[g______d]

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

привел контр-пример к той дельте, для которой "доказали, воспринимали ...", что она есть тензор

Не привели. Вы, действительно, доказали, что некоторый набор чисел является набором скаляров. А потом из этого сделали вывод, что он не может являться набором компонент тензора. Пользуясь тем фактом, что набор скаляров не может быть набором компонент тензора. Только этот факт неверен. Не нравится символ Кронекера -- возьмите нулевой тензор.

-- Пт, 15 май 2015 00:56:50 --

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

всякие ли три функции могут быть вектором

Не вектором, а компонентами вектора. И не вектора, а векторного поля.

-- Пт, 15 май 2015 00:57:51 --

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

Кстати, где-то здесь на форуме видел грандиозный поток с баталиями

И баталий там не было, там был один конкретный сумасшедший.

[Oleg Zubelevich]

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

Что такое тензор остается (во времени) большой методической проблемой

высасоной из пальца

[maximav]

g______d в сообщении #1015395 писал(а):

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

привел контр-пример к той дельте, для которой "доказали, воспринимали ...", что она есть тензор

Не привели. Вы, действительно, доказали, что некоторый набор чисел является набором скаляров. А потом из этого сделали вывод, что он не может являться набором компонент тензора. Пользуясь тем фактом, что набор скаляров не может быть набором компонент тензора. Только этот факт неверен. Не нравится символ Кронекера -- возьмите нулевой тензор.

-- Пт, 15 май 2015 00:56:50 --

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

всякие ли три функции могут быть вектором

Не вектором, а компонентами вектора. И не вектора, а векторного поля.

-- Пт, 15 май 2015 00:57:51 --

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

Кстати, где-то здесь на форуме видел грандиозный поток с баталиями

И баталий там не было, там был один конкретный сумасшедший.

Ну и с нулевым тензором-скалярами тоже самое. Мало ли какие наборы чисел могут совпадать. Вот например, если Вы начнете делать дальнейшие действия с этими "черт возьми" наборами, может сказаться капитальнейшим образом то из чего они состряпаны, т.е. их природа и сущность, не извлекаемая из чисел в принципе. Скажем взяли свертку тензора деформации - худо бедно все величины одной размерности, результат - тоже физический объект. Все Ок. А теперь представьте, что под "тензором деформации", а точнее под его числовым представлением на диагонали сидели не деформации, а наборы скаляров: 5 груш, 5 тонн навоза и 5 метров "лапши на уши". При желании, можете даже отнормировать их на общую единицу измерения. Все три - скаляры. А теперь, ну-ка сложите их (сделайте свертку) !! Сущности ортогональны к числам, как ни крути.

PS. Про сумасшедшего не помню где... ну в общем вы понимаете про что я. Проблема действительно не трудная. Надо только не говорить всякую всячину типа "числа, меняющиеся по закону", которая сбивает с толку и очень успешно сбивает, коль скоро нет наверно человека, который бы не считал сначала, что тензор - матрица, а потом прозрел, их отличия.

[g______d]

Ещё раз. Рассмотрим набор чисел $\delta_i^j$. Существует такой тензор типа $(1,1)$, что данный набор чисел является набором его компонент для любого базиса. Следовательно, данный набор чисел является набором компонент некоторого тензора. Какое из утверждений неверно? Можете чётко указать какое утверждение, без расписывания на абзац с навозом?

maximav в сообщении #1015411 писал(а):

Надо только не говорить всякую всячину типа "числа, меняющиеся по закону".

Можно, только долго. Отображение, которой каждому упорядоченному базису сопоставляет упорядоченный набор чисел, такой что если в одном базисе он равен тому, а другой базис связан с первым так-то, то в другом базисе он равен сему. А если тензор на многообразии, то ещё дольше, но, в принципе, тоже можно.

[maximav]

Коррекция: "данный набор чисел является ..." $\to $ "данный набор чисел может представлять ...". Версии: "пусть данный набор чисел представляет", "может реализовываться", "has been realized", "числовые значения совпадают".
Но я нахожу, что (математически аккуратное) понятие "представление" как нельзя лучше подходит для существа дела. И вообще - это один из немногих математических терминов, заменить который на лучший наверно не возможно. "Компоненты тензора представляются набором чисел", "компоненты тензора в базисе равны числам", но не (!) "числа есть компоненты". Числа есть числа... навечно.

По поводу "Можно, только долго". Не спорю, но это когда уже все ясно. А вот когда учишь (учат) годами и тоннами книжек, а там всюду вот такие "укороченные эрзацы" и ни одного "более простого, хоть длинного, но правильного", тогда и начинается беда не просто искаженного, а просто неправильного "понимания" на годы. Сам все это проходил.

-- 15.05.2015, 15:02 --

g______d в сообщении #1015424 писал(а):

А если тензор на многообразии, то ещё дольше, но, в принципе, тоже можно.

Вот, кстати, еще один образец "смуты": тензор на многообразии. На многообразии ничего нет и быть не может, кроме как скаляров. Все остальное живет в конструкциях над многообразиями. Расслоения называются. Отдельная тема, хоть и родственная. Слова "тензор на многообразии" - это опять-таки - интерпретация (нечто похожее на "тензор = матрица"). Не фатально неправильная, но с дефектами понимания сущности.

[SergeyGubanov]

maximav в сообщении #1015411 писал(а):

нет наверно человека, который бы не считал сначала, что тензор - матрица, а потом прозрел, их отличия.

Бывает хуже, но реже. До одного моего сокурсника "дошло" что такое тензор, только после сравнения его с двумерным массивом в Паскале. Он буквально просиял.

Кстати, maximav, раз уж речь зашла и про расслоения, а нет ли у Вас методологически правильного объяснения откуда берутся такие слова как "сечение расслоения", почему "сечение"?

[g______d]

maximav в сообщении #1015431 писал(а):

Коррекция: "данный набор чисел является ..." $\to $ "данный набор чисел может представлять ...".

Нет, это бессмысленная коррекция. Это всё равно что утверждать, что число $e$ не является суммой ряда $\sum \frac{1}{n!}$, а является пределом последовательности $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, или наоборот, или не является ни тем, ни другим.

maximav в сообщении #1015431 писал(а):

Слова "тензор на многообразии" - это опять-таки - интерпретация

Стандартная терминология, означающая "тензор на касательном расслоении". Я почему-то решил, что имею право пользоваться стандартной терминологией.

maximav в сообщении #1015431 писал(а):

(нечто похожее на "тензор = матрица").

Не похожее.

-- Пт, 15 май 2015 02:29:21 --

maximav в сообщении #1015431 писал(а):

ни одного "более простого, хоть длинного, но правильного"

Есть. Постников, Кобаяси-Номидзу, Бурбаки.

[Oleg Zubelevich]

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

Помимо "вашей топологии" вам следовало бы указать мне еще,

это не моя топология, про ЛВП начали говорить Вы совершенно ни к селу ни к городу, и именно этого касалось мое замечание.

[maximav]

g______d в сообщении #1015455 писал(а):

maximav в сообщении #1015431 писал(а):

Слова "тензор на многообразии" - это опять-таки - интерпретация

Стандартная терминология, означающая "тензор на касательном расслоении". Я почему-то решил, что имею право пользоваться стандартной терминологией.

И это тоже не корректно. Тензор "живет" не на многообразии и не в расслоении. Он живет (например, принимает числовые значения) в слое (касательного) расслоения, причем этот слой есть ЛВП и прикреплен к одной точке многообразия. И слой и многообразие есть составные части конструкции, называемой расслоение. Конструкция нетривиальная, но если тщательно обдумать, то совершенно неизбежная. Для физики - это как без воздуха.

-- 15.05.2015, 16:00 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1015470 писал(а):

maximav в сообщении #1015385 писал(а):

Помимо "вашей топологии" вам следовало бы указать мне еще,

это не моя топология, про ЛВП начали говорить Вы совершенно ни к селу ни к городу, и именно этого касалось мое замечание.

Вы знаете, я только сейчас смекнул, что имеет место смехотворнейший казус. Под ЛВП я всегда понимал Линейное Векторное Пространство. Замечу, что я не люблю говорить просто векторное, подчеркивая свойство линейности. Вот такие пироги.

-- 15.05.2015, 16:02 --

g______d в сообщении #1015455 писал(а):

maximav в сообщении #1015431 писал(а):

Коррекция: "данный набор чисел является ..." $\to $ "данный набор чисел может представлять ...".

Нет, это бессмысленная коррекция. Это всё равно что утверждать, что число $e$ не является суммой ряда $\sum \frac{1}{n!}$, а является пределом последовательности $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, или наоборот, или не является ни тем, ни другим.

Честно говоря, этот пассаж я просто не понял

-- 15.05.2015, 16:36 --

SergeyGubanov в сообщении #1015442 писал(а):

Кстати, maximav, раз уж речь зашла и про расслоения, а нет ли у Вас методологически правильного объяснения откуда берутся такие слова как "сечение расслоения", почему "сечение"?

Ну это вроде в некоторых книжках пишут, хотя я не сказал бы что внятно разжевывают. Сечение - это график. Так же как в школе нас учат писать $y = f(x)$ и называть это график функции. А я еще люблю говорить, что поголовная математическая привычка писать $y=y(x)$ величайшее математическое зло К расслоениям тогда формула $y=f(x)$ прикрепляется так. $x$ - это координаты точки на многообразии (могут меняться!). $y$ - числовое значение(я) координат вектора (если надо, несколько игреков $(y_1,y_2,\ldots)$) в слое в некотором его базисе (могут тоже меняться). $f$ (без икса!) - это функция(и), реализующая сечение (тоже меняется в зависимости от смены предыдущих). Говорят (плохо) просто $f(x)$ и есть сечение. Получается график в плоскости $(x,y)$; он сечет плоскость $(x,y)$ - это плоскость тотального пр-ва расслоения. Но даже здесь я подмухлевал, поскольку аккуратнее надо писать сечение как $x \to (x,f(x))$. Но тут тоже есть куча недомолвок, но это отдельная большая тема... про расслоения и их сечения. Все, что описано выше - это координатная реализация координатной реализации расслоения, представляющей собой координатную реализацию базы расслоения (многообразие), координатного представления точек в слоях над координатными представлениям точек базы и т.д. Огород с "координатными" = "числовыми" нагорожен специально. Просьба не придираться.

С тензорами тогда аналогично. Например, (0,2)-тензор $Y$ реализуется координатно как набор функций $f_{jk}(x)$ и мы пишем $Y_{jk}=f_{jk}(x^1mx^2,\ldots)$. Упомянутый здесь сумасшедший как раз и мучился на этими $f_k(x)$. Могут ли они быть любыми? Ответ могут.

[Утундрий]

Остапа, что называется, понесло...

У меня просьба к модераторам. Можно вот это всё, которое так сказать скопилось, куда-нибудь отделить? Под названием "Дискуссия о единственно верном понимании тензора", например.

[Oleg Zubelevich]

maximav
у меня к Вам вопрос, как к знатоку тензорного анализа и физики. Вот есть система с лагранжианом, состоящим только из кинетической энергии $L=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j$ -- положительно определенная квадратичная форма скоростей, $x$ -- локальные координаты на конфигурационном многообразии $M$. И известен ее первый интеграл $f(x,\dot x)=a_i(x)\dot x^i$. Докажите, что этот интеграл локально нетеров. Т.е. порожден нетеровой (локальной) группой симметрий.
($\sum_i a_i^2\ne 0$)

(Оффтоп)

теорема верна и для общих натуральных систем $L=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j-V(x)$