2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение02.09.2010, 08:11 
Заслуженный участник


27/06/08
3420
Волгоград
maxal в сообщении #348993 писал(а):
VAL в сообщении #348990 писал(а):
Это общее соображение. Аккуратнее пока не доказывал.

С удовольствием посмотрю на доказательство. (что-то мне подсказывает, что тут отнюдь не всё так просто)
Если удаляется одно слагаемое, то требуемое неравенство доказывается в одну строчку.
А дальше по индукции :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение03.09.2010, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2006
Минск, Беларусь
VAL в сообщении #348987 писал(а):
Любое нетривиальное решение с попарно различными (натуральными) числами должно получаться из тривиального $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$ выбрасыванием нескольких слагаемых, но не последнего. Но при этом левая часть всегда будет меньше правой.
Пусть мы выбросили очередное слагаемое $k$. Тогда левая часть $l^2$ уменьшается на $2kl-k^2$. Для того, чтобы правая часть уменьшилась на меньшую величину, необходимо $k^2+k-2l < 0$, а это возможно лишь при $k < \sqrt{2l}-\frac12$, так что индукция не прокатит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение03.09.2010, 06:14 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5451
Вроде придумал доказательство.

Лемма. Для натуральных чисел $a,b$, $a+1 < b-1$, справедливо неравенство:
$$(a+1)^3 + (b-1)^3  < a^3 + b^3.$$
Доказательство очевидно.

Предположим, что у нас есть решение
$$(\star)\qquad\qquad\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^3,$$
в котором $a_1<a_2<\dots<a_n$ является натуральными. Если в отрезке $[a_1, a_n]$ имеется две "дырки", то есть, два натуральных числа $a_1<x<y<a_n$, которые не являются элементами множества $\{ a_k \}$, то беря ближайший к $x$ слева элемент $a_i$ и ближайший к $y$ справа элемент $a_j$, заключаем, что $a_i+1 < a_j -1$ также являются дырками. Увеличивая $a_i$ на 1 и уменьшая $a_j$ на 1, мы не изменяем сумму $\sum a_k$, но уменьшаем сумму $\sum_k a_k^3$ (по лемме), причём все $a_k$ по-прежнему являются попарно различными натуральными числами.

Будем осуществлять подобные операции, покуда у нас имеются две дырки. Заметим, что величина "разброса" $\sum_{k<k'} (a_{k'}-a_k)$ при каждой такой операции уменьшается как мининимум на 2. Поэтому рано или позно мы придем к ситуации с максимум одной дыркой и неравенством
$$\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 \geq \sum_{k=1}^n a_k^3,$$
причем равенство имеется только в том случае, когда набор $a_1,\dots,a_n$ - исходный.

Если дырок нет, то $a_k = m+k$ для всех $k=1,2,\dots,n$ и некоторого $m\geq 0$. Тогда для $v=T_m=\sum_{i=1}^m i$ и $u= T_{m+n}$ имеем
$$\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 =  (u - v)^2 \geq u^2 - v^2 = \sum_{k=1}^n a_k^3.$$
Сокращая на $u-v$, получаем $u-v\geq u+v$ и, следовательно, $v=m=0$. В этом случае $a_k=k$ представляют наш исходный набор.

Если дырка одна, то аналогично для $u=T_{m+n+1}$, $v=T_m$ и некоторой дырки $s$, $m+2\leq s\leq m+n$, имеем:
$$(u - v-s)^2 \geq u^2 - v^2-s^3$$
или
$$s^3 + s^2 - 2(u-v)s - 2v(u-v) \geq 0$$
Найдем максимум левой части как функции от $s\in [m+2,m+n]$. Производная равна $3s^2 + 2s - 2(u-v)$, и её корнями являются $s=\frac{-1\pm \sqrt{1+6(u-v)}}3$. Так как меньший корень (соответствующий локальному максимуму) отрицательный, то максимум в отрезке $[m+2,m+n]$ достигается на одном из его концов. Поэтому должно выполняться хотя бы одно из неравенств:
$$(m+2)^3 + (m+2)^2 - 2(u-v)(m+2) - 2v(u-v) \geq 0$$
или
$$(m+n)^3 + (m+n)^2 - 2(u-v)(m+n) - 2v(u-v) \geq 0.$$
Первое неравенство равносильно:
$$(3 m^2 - \frac{9}{2} m^2 n) + (9m-\frac{17}2 m n) + (8-6n) - \frac{3}{2}mn^2 - 2n^2 - m^3 n - \frac{1}{2} m^2 n^2\geq 0$$
но, как нетрудно видеть, все скобки и остальные слагаемые в нём отрицательны (учитывая $n\geq 2$).
Второе неравенство и того проще:
$$-\frac{3}2 m^2 n - \frac{1}{2} m n^2 - 3m^2 - \frac{9}2 m n - 2n^2 - 3m- 2n-m^3n - \frac{1}2 m^2 n^2\geq 0$$
в нем все слагаемые отрицательны, и поэтому выполняться оно не может.

Итак, решением $(\star)$, где все натуральные числа $a_k$ различны, единственно и является набором первых $n$ натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение03.09.2010, 11:49 
Заслуженный участник


27/06/08
3420
Волгоград
maxal в сообщении #349288 писал(а):
Вроде придумал доказательство.
Ну вот, я же говорил: "Очевидно!" :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение03.09.2010, 19:16 


23/01/07
3224
Новосибирск
Наиболее очевидным этот факт становится, если использовать графическую интерпретацию, которую я уже ранее предлагал в одной из тем.

Коротко напомню ее суть:

Рисуем окружности "горкой", как они обычно изображаются для отображения треугольных чисел.
Соединяем центры всех соседних окружностей.
Получили равносторонний треугольник, состоящий из маленьких.
Отмечаем 1-й ряд сверху - это $1^3$.
Затем отмечаем следующие 2 ряда - это $2^3$ маленьких треугольников.
Следующие 3 ряда дают $3^3$
и т.д.

Рассматриваемый ныне вопрос на этой графической интерпретации формулируется следующим образом:
"Где больше маленьких треугольников - в $k$ рядах, находящихся в треугольнике и соответствующих $k^3$,
или в $k$ рядах, находящихся в основании большого треугольника?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение07.09.2010, 20:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5451
A158649(14) = 69459

Интуиция подсказывает, что вычислять элементы этой последовательности можно гораздо быстрее чем тупым перебором, но пока что-то не получается добиться существенного ускорения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение19.05.2015, 18:29 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5451
maxal в сообщении #349288 писал(а):
Предположим, что у нас есть решение
$$(\star)\qquad\qquad\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^3,$$
в котором $a_1<a_2<\dots<a_n$ является натуральными.

...

Итак, решением $(\star)$, где все натуральные числа $a_k$ различны, единственно и является набором первых $n$ натуральных чисел.


Я закинул эту задачу в Crux Mathematicorum, и там некто M. Bataille построил такое разложение:
$$\sum_{k=1}^n a_k^3 - \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k \sum_{j=1}^k (a_j + a_{j-1})(a_j - a_{j-1} -1),$$
где доопределено $a_0=0$. Отсюда моментально следует, что для $a_0=0<a_1<a_2<\dots<a_n$ это выражение неотрицательно и равно нулю только если равны нулю все $a_j - a_{j-1} -1$, то есть, $a_j=a_{j-1}+1$ для всех $j$. Значит, $a_j=j$, ч.т.д.

Вот такое по-настоящему олимпиадное решение в две строчки!

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел
Сообщение20.05.2015, 08:17 


18/04/15
38
Droog_Andrey в сообщении #240718 писал(а):
Интересно было бы найти нетривиальное решение, где все $a_k$ различны.

Если положить, что $ a_{k} $ - разные натуральные, то методом матиндукции доказывается неравенство $ \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}^3\geq\left( \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k} \right)^2 $, причем равенство достигается лишь в том случае, когда $ a_{k}=k, 1\leq k\leq n $. Поэтому для поиска нетривиальных решений разумно сделать допущение, что не все числа разные.

-- 20.05.2015, 08:26 --

Прошу прощения, не прочитал последние сообщения, думал, что это еще не доказано.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group