Удаляется ли Луна

[Ingus]

Слышал я, что Луна удаляется от Земли. (Espenak, F.; Meeus, J. Secular acceleration of the Moon. NASA (February 7, 2007))
Лагранжев формализм и немного терпения позволят нам составить уравнения для ограниченной круговой задачи трех тел.
$R$ – радиус орбиты Земли, $\mu$ – гравитационный параметр Земли, $\gamma$ - гравитационный параметр Солнца, $\Omega$ - частота обращения Земли вокруг Солнца, $\theta$ - геоцентрическая долгота Луны, $\varphi=\theta-\Omega t$ - фаза Луны, ${\rho}^2=R^2+r^2+2Rr \cos(\varphi)$ - расстояние от Луны до Солнца, $r$ - расстояние Земля-Луна.

$\ddot{r} = r {\dot{\theta}}^2-\dfrac{\mu}{r^2}+R {\Omega}^2 \cos(\varphi)-\dfrac{\gamma R \cos(\varphi)+r}{{\rho}^3}$

$\ddot{\theta}=-2\dot{r}\dfrac{\dot{\theta}}{r}-\dfrac{R}{r} \Omega^2 \sin(\varphi)+\dfrac{\gamma R \sin(\varphi)}{r \ro^3}$

Теперь, если задать скорость Луны в перигее скажем 1023 м/с, кривые $r$ и $\theta$ будут весьма похожи на правду, которая за окном и на сайте JPL NASA.
Уменьшая скорость Луны, мы увидим, что эксцентриситет ее геоцентрической орбиты уменьшается, чуть не до нуля, а потом снова начинает расти. Что и понятно. Допустим, в задаче двух тел пробное тело имело эллиптическую орбиту с энергией больше «круговой». Потеря энергии на торможение, например, сделает орбиту более округлой, затем круговой, а потом перигей станет апогеем, а новый перигей опустится ниже поверхности Земли и конец.
Возьмем невозмущенную задачу Кеплера и «возмутим» ее диссипативной силой вида $ \mathbf{R} =-k V \mathbf{V}$ (это векторное равенство). $V$ - скорость пробного тела. Переходя к обобщенным силам, получим нечто вроде:
$\ddot{r}=r {\dot{\theta}}^2-\dfrac{\mu}{r^2}+Q_r$
$\ddot{\theta}=-2 \dot{r} \dfrac{\dot{\theta}}{r}+Q_{\theta}$
где
$ Q_r =-k \dot{r} \sqrt{{\dot{r}}^2+r^2 {\dot{\theta}}^2} $
$ Q_{\theta} =-k r^2 \dot{\theta} \sqrt{{\dot{r}}^2+r^2 {\dot{\theta}}^2} $
Поправьте меня, если что не так. И есть ли надежда упростить и решить эти уравнения в аналитике?
Ладно. Решим численно. (И в Декарте, прошу прощения, пока не уверен в правильности формул для обобщенных сил). Картина движения следующая: эксцентриситет сначала падает, потом растет. При этом большая полуось почти не меняется, потому что апогей поднимается, а перигей опускается. Тем не менее, среднее расстояние сначала падает, потом, после прохождения «круговой стадии» растет.

Так вот. Луна пока не прошла круговую стадию. Среднее расстояние падает, получается…
Диссипативные силы приливного трения имеют неизвестную мне зависимость (кстати какую?). Может быть, картина движения будет другая?

[Oleg Zubelevich]

Ingus в сообщении #1017095 писал(а):

Слышал я, что Луна удаляется от Земли. (Espenak, F.; Meeus, J. Secular acceleration of the Moon. NASA (February 7, 2007))
Лагранжев формализм и немного терпения позволят нам составить уравнения

думаю, что когда говорят что Луна удаляется там речь идет о диссипативных эффектах, типо приливов. Так, что лагранжев формализм тут, думается, не поможет

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #1017097 писал(а):

Так, что лагранжев формализм тут, думается, не поможет

В задаче трех тел нет диссипативных сил. Там мы просто беспричинно снижаем скорость Луны.

Уравнения Лагранжа говорят можно выписать и для диссипативных систем



Шмутцер Э.. Основные принципы классической механики и классической теории поля (канонический аппарат) М.: Мир, 1976. - 155 с.

-- 19.05.2015, 13:38 --

Итак, если можно учесть диссипативные эффекты типо приливов, добавив обобщенные силы в наши не диссипативные уравнения, нужно понять как эти обобщенные силы зависят от наших обобщенных координат.

-- 19.05.2015, 14:30 --

Ошибка вкралась во второе уравнение. правильно так:

$\ddot{r} = r {\dot{\theta}}^2-\dfrac{\mu}{r^2}+R {\Omega}^2 \cos(\varphi)-\dfrac{\gamma R \cos(\varphi)+r}{{\rho}^3}$

$\ddot{\theta}=-2\dot{r}\dfrac{\dot{\theta}}{r}-\dfrac{R}{r} \Omega^2 \sin(\varphi)+\dfrac{\gamma R \sin(\varphi)}{r \rho^3}$

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1017097 писал(а):

думаю, что когда говорят что Луна удаляется там речь идет о диссипативных эффектах, типо приливов.

Так и есть - именно приливы. Но вот диссипация ли? Кажется, если взять вместо Земли шар идеальной жидкости, эффект сохранится. По сути, это есть перекачивание момента вращения Земли в орбитальный момент Луны, ну а что при этом увеличивается расстояние - это побочный результат.

[Ingus]

Расчет велся по правильным формулам. Перенес формулу в тему с помаркой. Извините.

[DimaM]

Munin в сообщении #1017153 писал(а):

Кажется, если взять вместо Земли шар идеальной жидкости, эффект сохранится.

Мне казалось, что приливные горбы смещены вперед именно за счет трения.

[Ingus]

Munin в сообщении #1017153 писал(а):

По сути, это есть перекачивание момента вращения Земли в орбитальный момент Луны

Механизм перекачки, как я слышал, связан с гравитационным действием опережающих приливных горбов, они как зубья шестерни ускоряют движение Луны по орбите. Это так?

[Oleg Zubelevich]

Ingus в сообщении #1017095 писал(а):

Возьмем невозмущенную задачу Кеплера и «возмутим» ее диссипативной силой вида $ \mathbf{R} =-k V \mathbf{V}$ (это векторное равенство). $V$ - скорость пробного т

а вот это я уже не прочитал, т.е. предлагается считать, что луна в масле плавает. понятно, т.е. постановка понятна, а как это с физикой связано непонятно.

Ingus в сообщении #1017095 писал(а):

Поправьте меня, если что не так.

проверье, формулы для вычисления обобщенный сил выписаны тут, например: topic97044.html

[Ingus]

DimaM в сообщении #1017158 писал(а):

приливные горбы смещены вперед именно за счет трения

Пока горб вздымается, его сносит суточным вращением куда-то вперед и в сторону (оси скрещены). Такая глобальная деформация видимо должна сопровождаться потерями на трение...

[DimaM]

Ingus в сообщении #1017167 писал(а):

Пока горб вздымается, его сносит суточным вращением куда-то вперед и в сторону (оси скрещены).

Я имел в виду, что без трения его никуда бы не сносило.

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #1017164 писал(а):

формулы для вычисления обобщенный сил выписаны тут

Да, спасибо. Там написано

$$Q_j=\sum_{i=1}^N\Big (\overline F_i,\frac{\partial \overline v_i}{\partial \dot q_j}\Big),$$

А я воспользовался другой записью

$$Q_j=\sum_{i=1}^N\Big (\overline F_i,\frac{\partial \overline r_i}{\partial q_j}\Big),$$

так можно?
Тогда получается
$Q_r=F_x \dfrac{\partial x}{\partial r}+F_y \dfrac{\partial y}{\partial r} $

$Q_\theta=F_x \dfrac{\partial x}{\partial \theta}+F_y \dfrac{\partial y}{\partial \theta} $

$x=r \cos(\theta)$
$y=r \sin(\theta)$
и так далее

-- 19.05.2015, 16:17 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1017164 писал(а):

а как это с физикой связано непонятно

Важно было понять влияние простейших диссипативных сил на орбиту на примере "масла".

-- 19.05.2015, 16:46 --

Из Вики
"Луна удаляется от Земли со скоростью примерно 34 миллиметра в год[1], длительность суток на Земле постепенно увеличивается. Этот механизм работает в течение 4,5 миллиардов лет, с тех пор, как на Земле сформировались океаны. Существуют геологические и палеонтологические свидетельства того, что Земля в далёком прошлом вращалась быстрее, а лунный месяц был короче (поскольку Луна была ближе к Земле)"
Значит в будущем год может стать равным 360 суткам, а синодический месяц - 30 суткам. Золотой век. А может быть он уже был? Может куранты наши устарели, и стареют себе дальше без мастера?

[Munin]

DimaM в сообщении #1017158 писал(а):

Мне казалось, что приливные горбы смещены вперед именно за счет трения.

А не за счёт инерции? Тогда да, вы правы. Как же это я забыл.

Ingus в сообщении #1017163 писал(а):

Механизм перекачки, как я слышал, связан с гравитационным действием опережающих приливных горбов, они как зубья шестерни ускоряют движение Луны по орбите.

Да, связан, но при чём здесь какие-то "шестерни"? Избавляйтесь от уродства в голове.

[Ingus]

Munin в сообщении #1017239 писал(а):

А не за счёт инерции? Тогда да, вы правы. Как же это я забыл.

Зато я не забыл, как меня здесь отучили инерцию вспоминать, в пользу трения))

-- 19.05.2015, 18:14 --

Munin в сообщении #1017239 писал(а):

но при чём здесь какие-то "шестерни"

Тогда как образно описать механизм передачи момента от центрального тела спутнику?

[Pphantom]

Оффтопик про постоянную Хаббла отделен в «Луна и постоянная Хаббла».

[Munin]

Ingus в сообщении #1017277 писал(а):

Тогда как образно описать механизм передачи момента от центрального тела спутнику?

А зачем образно? Здесь достаточно и на пальцах ньютоновские силы посчитать.