Топологическая структура

[Sicker]

А кстати, гауссова кривизна точки равна два пи?

-- 17.05.2015, 15:54 --

Munin в сообщении #1016380 писал(а):

ам в начале приведено вычисление $\chi$ при разбиении прямыми, и это просто. А вот доказательство, что при любом другом разбиении получится то же число - я так понимаю, этому посвящена вся остальная брошюра?

Это кстати легко показать.
Пусть дано разбиение плоскости прямыми, тогда можно выбрать круг такого радиуса $R$, что при дальнейшем увеличении была такая картина-к его границе направляются непересекающиеся прямые, и прицепляются к ней, В-Р+Г=1.
Теперь если абстрактно устремить границу к бесконечности , тогда исчезнут ребра на границе этого круга и точки.
Но число точек на границе круга равно числу ребер, а они в формуле сокращаюся.
Чтд
PS Это верно для конечного числа прямых, разбивающих плоскость

[Munin]

Sicker в сообщении #1016445 писал(а):

А кстати, гауссова кривизна точки равна два пи? :roll:

Считайте через обобщённые функции.

[Sicker]

Munin
Ну дык так и получается

[g______d]

Эйлерова характеристика — гомотопический инвариант. Плоскость гомотопически эквивалентна точке.

[Munin]

О! Спасибо!

(Получается, и $\mathbb{R}^n$ имеет эйлерову характеристику 1?)

[Утундрий]

g______d в сообщении #1016530 писал(а):

Эйлерова характеристика — гомотопический инвариант. Плоскость гомотопически эквивалентна точке.

Интересно, сколько уместится рёбер и граней на острие одной точки...

[g______d]

Утундрий в сообщении #1016573 писал(а):

Интересно, сколько уместится рёбер и граней на острие одной точки

Главное, что рёбер и граней одинаково.

[Утундрий]

g______d в сообщении #1016606 писал(а):

Главное, что рёбер и граней одинаково.

Но только в 2D.

[g______d]

Munin в сообщении #1016570 писал(а):

(Получается, и $\mathbb{R}^n$ имеет эйлерову характеристику 1?)

Да. Можете подумать, как может выглядеть общее определение, или посмотрите в википедии.

[Sicker]

А как обобщить теорему Гаусса-Бонне на высшие размерности?

[Munin]

g______d
Это я уже сделал. Меня интересовало (мгновенное) вычисление для конкретного случая. Спасибо!

Sicker в сообщении #1016689 писал(а):

А как обобщить теорему Гаусса-Бонне на высшие размерности?

А вот для этого точно см. Википедию, причём англоязычную.

[Sicker]

Че-то я не понял, если возьмем круг с вырезанным маленьким кругом по середине, то эйлерова характеристика будет ноль.
Интеграл Гауссовой кривизны будет ноль, а интегралы от геодезической кривизны границы будут равны по $2\pi$, и получаем эйлерову характеристику два.
Противоречие
PS. Я беру поворот вектора касательной с плюсом, если последовательные векторы из нее, вектора ее производной по длине перемещения, и третьего репера, указывающего положительную ориентируемость, составляют правую тройку

[Munin]

Sicker в сообщении #1017864 писал(а):

Че-то я не понял, если возьмем круг с вырезанным маленьким кругом по середине, то эйлерова характеристика будет ноль.
Интеграл Гауссовой кривизны будет ноль, а интегралы от геодезической кривизны границы будут равны по $2\pi$, и получаем эйлерову характеристику два.

Их со знаком надо брать. Направление внутренней границы противоположно направлению внешней.

[Sicker]

Munin в сообщении #1017871 писал(а):

Их со знаком надо брать. Направление внутренней границы противоположно направлению внешней.

Те если граница загибается в наше многообразие, то берем с плюсом, а если выгибается, то с минусом?

[Munin]

Я имел в виду другое, но наверное, вы правы.