2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Индексные обозначения и преобразования Лоренца
Сообщение17.05.2015, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вчера сначала написал, потом почему-то задумался, и подумал, что запутался.

qftlearner в сообщении #1016236 писал(а):
Munin, Nirowulf, хорошо, вы неявно использовали $\left(\Lambda^T\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$.

На самом деле, это неправда, конечно. Матрицы - это матрицы, а тензоры - это тензоры. Матрицы можно транспонировать, а тензоры нельзя. Но если мы отобразим матрицу в тензор, по принципу "компонент в компонент", обозначим это, скажем, $\operatorname{tens}[M],$ то тогда будет верно, что $\operatorname{tens}[M^\mathrm{T}]^\mu{}_\nu=\operatorname{tens}[M]_\nu{}^\mu.$

При этом надо оговорить, что $\operatorname{tens}[M]$ переводит номер строки матрицы в первый по порядку индекс тензора, а номер столбца - во второй по порядку. Но это практически общепринято (хотя и неформально).

qftlearner в сообщении #1016236 писал(а):
вы неявно использовали $\left(\Lambda^T\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$. Я думал, что так писать неправомерно. Теперь объясните, пожалуйста, почему так можно писать, если, в тоже время, $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$, но $\Lambda^{-1} \neq \Lambda^T$.

Дело в том, что $\operatorname{tens}[M]$ - отображение не взаимно-однозначное. Оно "стирает" часть информации, и заменяет её принудительно другой. Скажем, из одной и той же матрицы $M$ можно получить тензоры $\operatorname{tens}[M]^{\mu\nu},\operatorname{tens}[M]^\mu{}_\nu,\operatorname{tens}[M]_\mu{}^\nu,\operatorname{tens}[M]_{\mu\nu}.$ У двух тензоров могут быть одинаковые численно компоненты, но при этом это будут разные тензоры. И как результат, делать выводы на основании $\operatorname{tens}^{-1}$ нельзя.

Поэтому надо мыслить каждую формулу или как только тензорную, или как только матричную. Нельзя смешивать в одной формуле всё в кашу. Это ведёт к ошибочным выводам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Индексные обозначения и преобразования Лоренца
Сообщение17.05.2015, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1016269 писал(а):
Например, при переходе от формулы $a^i=C_j^i b^j$ к формуле $d_j=C_j^i b_i$ происходит транспонирование $C$, хотя, казалось бы, никакие значки местами не меняются.

Физики (после ЛЛ-2) пишут это как $a^i=C^i{}_j b^j$ и $d_j=C_j{}^i b_i,$ и транспонирование видно "на глаз".

 Профиль  
                  
 
 Re: Индексные обозначения и преобразования Лоренца
Сообщение17.05.2015, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я бы ещё вот что добавил. Некоторые авторы пользуются не "матричными" обозначениями, а чем-то вроде "безындексных тензорных", которые отличаются от индексных тем, что просто стёрты все индексы, которые и так очевидны. Например, $\partial_\mu\partial^\mu\to\partial^2.$ Это не надо принимать за "настоящие матрицы", и вообще, в физике матрицы не очень-то популярны, поскольку инвариантность по отношению к координатам всегда очень важна. (Ну, кроме квантовых матриц и тому подобного - непространственных пространств.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Индексные обозначения и преобразования Лоренца
Сообщение17.05.2015, 15:20 


30/05/13
253
СПб
g______d в сообщении #1016269 писал(а):
$C=D^{-T}$ - в итоге как правильно говорить: обратная или транспонированная?

Не знаю, может это и устаревший термин, но мне он нравится: контрградиентная.

В книге Васильева по электродинамике мне также нравится введённое для такой матрицы обозначение $\overline{\Lambda}=\Lambda^{-1T}.$

Кстати, книгу советую, там для физиков про группу Лоренца очень хорошо написано. И даже индексная гимнастика педагогично не вводится до группы Лоренца.

qftlearner
Можно сказать так, наверное. То, что использовали я и Munin это некоторый костыль, ухищрение для записи с индексами. Можно обойтись без него, главное различать, какой у вас индекс нумерует строки, какой столбцы и что с чем сворачивается в формуле.

Munin в сообщении #1016352 писал(а):
изики (после ЛЛ-2) пишут это как $a^i=C^i{}_j b^j$ и $d_j=C_j{}^i b_i,$ и транспонирование видно "на глаз".


Собственно в этом и суть костыля, что на глаз видно=)

 Профиль  
                  
 
 Re: Индексные обозначения и преобразования Лоренца
Сообщение17.05.2015, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Nirowulf в сообщении #1016422 писал(а):
В книге Васильева по электродинамике мне также нравится введённое для такой матрицы обозначение $\overline{\Lambda}=\Lambda^{-1T}.$

Рано или поздно всяких крышечек и чёрточек не хватит. И тогда человек спохватывается, и пытается оптимизировать нотацию, но уже поздно. Мне сокращение $M^{-\mathrm{T}}$ понравилось, оно с самого начала компактное.

-- 17.05.2015 16:15:25 --

Nirowulf в сообщении #1016422 писал(а):
Кстати, книгу советую

А где бы её скачать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Индексные обозначения и преобразования Лоренца
Сообщение17.05.2015, 16:25 


30/05/13
253
СПб
Munin в сообщении #1016449 писал(а):
Мне сокращение $M^{-\mathrm{T}}$ понравилось, оно с самого начала компактное.

И мне, кстати, тоже! Спасибо, g______d

Munin в сообщении #1016449 писал(а):
А где бы её скачать?

На либгене есть. Я оттуда брал, там pdf.

 Профиль  
                  
 
 Re: Индексные обозначения и преобразования Лоренца
Сообщение17.05.2015, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Слона-то я и не приметил. Спасибо.

Впрочем, открыл и... не разделяю ваших восторгов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group