Индексные обозначения и преобразования Лоренца

[Munin]

Вчера сначала написал, потом почему-то задумался, и подумал, что запутался.

qftlearner в сообщении #1016236 писал(а):

Munin, Nirowulf, хорошо, вы неявно использовали $\left(\Lambda^T\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$.

На самом деле, это неправда, конечно. Матрицы - это матрицы, а тензоры - это тензоры. Матрицы можно транспонировать, а тензоры нельзя. Но если мы отобразим матрицу в тензор, по принципу "компонент в компонент", обозначим это, скажем, $\operatorname{tens}[M],$ то тогда будет верно, что $\operatorname{tens}[M^\mathrm{T}]^\mu{}_\nu=\operatorname{tens}[M]_\nu{}^\mu.$

При этом надо оговорить, что $\operatorname{tens}[M]$ переводит номер строки матрицы в первый по порядку индекс тензора, а номер столбца - во второй по порядку. Но это практически общепринято (хотя и неформально).

qftlearner в сообщении #1016236 писал(а):

вы неявно использовали $\left(\Lambda^T\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$. Я думал, что так писать неправомерно. Теперь объясните, пожалуйста, почему так можно писать, если, в тоже время, $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$, но $\Lambda^{-1} \neq \Lambda^T$.

Дело в том, что $\operatorname{tens}[M]$ - отображение не взаимно-однозначное. Оно "стирает" часть информации, и заменяет её принудительно другой. Скажем, из одной и той же матрицы $M$ можно получить тензоры $\operatorname{tens}[M]^{\mu\nu},\operatorname{tens}[M]^\mu{}_\nu,\operatorname{tens}[M]_\mu{}^\nu,\operatorname{tens}[M]_{\mu\nu}.$ У двух тензоров могут быть одинаковые численно компоненты, но при этом это будут разные тензоры. И как результат, делать выводы на основании $\operatorname{tens}^{-1}$ нельзя.

Поэтому надо мыслить каждую формулу или как только тензорную, или как только матричную. Нельзя смешивать в одной формуле всё в кашу. Это ведёт к ошибочным выводам.

[Munin]

g______d в сообщении #1016269 писал(а):

Например, при переходе от формулы $a^i=C_j^i b^j$ к формуле $d_j=C_j^i b_i$ происходит транспонирование $C$, хотя, казалось бы, никакие значки местами не меняются.

Физики (после ЛЛ-2) пишут это как $a^i=C^i{}_j b^j$ и $d_j=C_j{}^i b_i,$ и транспонирование видно "на глаз".

[Munin]

Я бы ещё вот что добавил. Некоторые авторы пользуются не "матричными" обозначениями, а чем-то вроде "безындексных тензорных", которые отличаются от индексных тем, что просто стёрты все индексы, которые и так очевидны. Например, $\partial_\mu\partial^\mu\to\partial^2.$ Это не надо принимать за "настоящие матрицы", и вообще, в физике матрицы не очень-то популярны, поскольку инвариантность по отношению к координатам всегда очень важна. (Ну, кроме квантовых матриц и тому подобного - непространственных пространств.)

[Nirowulf]

g______d в сообщении #1016269 писал(а):

$C=D^{-T}$ - в итоге как правильно говорить: обратная или транспонированная?

Не знаю, может это и устаревший термин, но мне он нравится: контрградиентная.

В книге Васильева по электродинамике мне также нравится введённое для такой матрицы обозначение $\overline{\Lambda}=\Lambda^{-1T}.$

Кстати, книгу советую, там для физиков про группу Лоренца очень хорошо написано. И даже индексная гимнастика педагогично не вводится до группы Лоренца.

qftlearner
Можно сказать так, наверное. То, что использовали я и Munin это некоторый костыль, ухищрение для записи с индексами. Можно обойтись без него, главное различать, какой у вас индекс нумерует строки, какой столбцы и что с чем сворачивается в формуле.

Munin в сообщении #1016352 писал(а):

изики (после ЛЛ-2) пишут это как $a^i=C^i{}_j b^j$ и $d_j=C_j{}^i b_i,$ и транспонирование видно "на глаз".

Собственно в этом и суть костыля, что на глаз видно=)

[Munin]

Nirowulf в сообщении #1016422 писал(а):

В книге Васильева по электродинамике мне также нравится введённое для такой матрицы обозначение $\overline{\Lambda}=\Lambda^{-1T}.$

Рано или поздно всяких крышечек и чёрточек не хватит. И тогда человек спохватывается, и пытается оптимизировать нотацию, но уже поздно. Мне сокращение $M^{-\mathrm{T}}$ понравилось, оно с самого начала компактное.

-- 17.05.2015 16:15:25 --

Nirowulf в сообщении #1016422 писал(а):

Кстати, книгу советую

А где бы её скачать?

[Nirowulf]

Munin в сообщении #1016449 писал(а):

Мне сокращение $M^{-\mathrm{T}}$ понравилось, оно с самого начала компактное.

И мне, кстати, тоже! Спасибо, g______d

Munin в сообщении #1016449 писал(а):

А где бы её скачать?

На либгене есть. Я оттуда брал, там pdf.

[Munin]

Слона-то я и не приметил. Спасибо.

Впрочем, открыл и... не разделяю ваших восторгов.