Вчера сначала написал, потом почему-то задумался, и подумал, что запутался.
Munin, Nirowulf, хорошо, вы неявно использовали

.
На самом деле, это неправда, конечно. Матрицы - это матрицы, а тензоры - это тензоры. Матрицы можно транспонировать, а тензоры нельзя. Но если мы отобразим матрицу в тензор, по принципу "компонент в компонент", обозначим это, скажем,
![$\operatorname{tens}[M],$ $\operatorname{tens}[M],$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/8/8b89796112679031d6bad68927286d5e82.png)
то тогда будет верно, что
![$\operatorname{tens}[M^\mathrm{T}]^\mu{}_\nu=\operatorname{tens}[M]_\nu{}^\mu.$ $\operatorname{tens}[M^\mathrm{T}]^\mu{}_\nu=\operatorname{tens}[M]_\nu{}^\mu.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/1/d013944c84a0e715ba5408e37be6b5fe82.png)
При этом надо оговорить, что
![$\operatorname{tens}[M]$ $\operatorname{tens}[M]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51fc6fcb68b24c74a691ddf29a25b66e82.png)
переводит номер строки матрицы в первый по порядку индекс тензора, а номер столбца - во второй по порядку. Но это практически общепринято (хотя и неформально).
вы неявно использовали

. Я думал, что так писать неправомерно. Теперь объясните, пожалуйста, почему так можно писать, если, в тоже время,

, но

.
Дело в том, что
![$\operatorname{tens}[M]$ $\operatorname{tens}[M]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51fc6fcb68b24c74a691ddf29a25b66e82.png)
- отображение не взаимно-однозначное. Оно "стирает" часть информации, и заменяет её принудительно другой. Скажем, из одной и той же матрицы

можно получить тензоры
![$\operatorname{tens}[M]^{\mu\nu},\operatorname{tens}[M]^\mu{}_\nu,\operatorname{tens}[M]_\mu{}^\nu,\operatorname{tens}[M]_{\mu\nu}.$ $\operatorname{tens}[M]^{\mu\nu},\operatorname{tens}[M]^\mu{}_\nu,\operatorname{tens}[M]_\mu{}^\nu,\operatorname{tens}[M]_{\mu\nu}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/4/a545a3027bb18cdef33dfd421fff829e82.png)
У двух тензоров могут быть одинаковые численно компоненты, но при этом это будут разные тензоры. И как результат, делать выводы на основании

нельзя.
Поэтому надо мыслить каждую формулу или как только тензорную, или как только матричную. Нельзя смешивать в одной формуле всё в кашу. Это ведёт к ошибочным выводам.