Индексные обозначения и преобразования Лоренца

[Kirill_Sal]

qftlearner
Под "ковектором" обычно понимается 1-форма, т.е.объект, сопряженный вектору (отсюда и приставка "ко-", которая часто используется математиками).

qftlearner в сообщении #1016254 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1016252 писал(а):

1) Это не ковектор;
2) В правиле преобразования ковектора фигурирует как раз транспонированная матрица, а не обратная;

эти два утверждения неверны. Смотрите, например, здесь.

Спасибо, но я больше верю МТУ т.1 стр.107.

[qftlearner]

Kirill_Sal, если вы знакомы с понятием 1-формы, то вам не составит труда понять, что под ковектором ОБЫЧНО понимается тензор с одним нижним (ковариантным) индексом. При замене координат ковектор преобразуется по тем же правилам, что и компоненты градиента: $U_{\mu} \to U_{\mu'} = \Lambda_{\mu'}^{}^{\nu}U_{\nu}$. Вектором же ОБЫЧНО называют тензор с одним верхним (контравариантным) индексом, который при замене координат преобразуется так же, как разность координат между двумя (бесконечно близкими) точками: $V^{\mu} \to V^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}_{}_{\nu}V^{\nu}$. Причем матрицы в этих двух правилах преобразования обратны друг другу.

Параграф 5 главы 2 Вайнберга, "Гравитация и космология".

[g______d]

Kirill_Sal в сообщении #1016252 писал(а):

2) В правиле преобразования ковектора фигурирует как раз транспонированная матрица, а не обратная;

qftlearner в сообщении #1016259 писал(а):

Причем матрицы в этих двух правилах преобразования обратны друг другу.

Я буду все значки писать нижними, для простоты, но по повторяющимся индексам всё равно суммирование. Пусть $\frac{\partial}{\partial x_i}$ -- какой-то базис в пространстве векторов, $dx_j$ -- двойственный ему в пространстве ковекторов. И пусть $y_i$ -- новые координаты. Давайте

$$ \frac{\partial}{\partial y_i}=C_{ij}\frac{\partial}{\partial x_j}, $$

$$ dy_k =D_{kl} dx_l, $$

и найдём связь между матрицами $C$ и $D$.

$$ \delta_{ik}=\left\langle dy_k, \frac{\partial}{\partial y_i}\right\rangle = \left\langle D_{kl} dx_l, C_{ij}\frac{\partial}{\partial x_j}\right\rangle=D_{kl}C_{ij}\delta_{lj}=D_{kj}C_{ij}=C_{ij}(D^T)_{jk}=(CD^T)_{ik}, $$

откуда $CD^T=I$, т. е. $C=D^{-T}$.

[Kirill_Sal]

qftlearner
Так, ясно. Мы на совершенно разных языках говорим.
Просто помимо компонент базисного вектора/базисной формы есть еще индекс, указывающий на то, к какой оси он/она относится.

[g______d]

Наличие или отсутствие транспонирования -- это некоторый тонкий момент. Мы как-то раз из-за этого сильного участника потеряли.

Например, при переходе от формулы $a^i=C_j^i b^j$ к формуле $d_j=C_j^i b_i$ происходит транспонирование $C$, хотя, казалось бы, никакие значки местами не меняются.

[qftlearner]

g______d в сообщении #1016264 писал(а):

откуда $CD^T=I$, т. е. $C=D^{-T}$

(2.5.7) у Вайнберга. Дальше что? Как это отвечает на это:

qftlearner в сообщении #1016236 писал(а):

Munin, Nirowulf, хорошо, вы неявно использовали $\left(\Lambda^T\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$. Я думал, что так писать неправомерно. Теперь объясните, пожалуйста, почему так можно писать, если, в тоже время, $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$, но $\Lambda^{-1} \neq \Lambda^T$.

[Kirill_Sal]

g______d
Насчет индексов сложновато для физиков. Физики привыкли опускать и поднимать их с помощью метрического тензора. $C=D^{-T}$ - в итоге как правильно говорить: обратная или транспонированная?

(Оффтоп)

А где там потерянный участник?

[g______d]

(Оффтоп)

Kirill_Sal в сообщении #1016273 писал(а):

А где там потерянный участник?

Он обиделся и больше не писал.

[Kirill_Sal]

Вообще я лично тут вижу сугубо терминологическую проблему. У Вайнберга очень злые обозначения. Писать Л-матрицы надо, штрихуя один из индексов, чтобы не было путаницы.

[g______d]

Kirill_Sal в сообщении #1016273 писал(а):

$C=D^{-T}$ - в итоге как правильно говорить: обратная или транспонированная?

Это сокращённая запись для $(D^{-1})^T$.

qftlearner в сообщении #1016271 писал(а):

Как это отвечает на это:

Пока никак; я просто хотел помочь и зафиксировать, как именно связаны матрицы преобразования векторов и ковекторов.

[Kirill_Sal]

g______d в сообщении #1016286 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1016273 писал(а):

$C=D^{-T}$ - в итоге как правильно говорить: обратная или транспонированная?

Это сокращённая запись для $(D^{-1})^T$.

Вообщем, транспонированная к обратной. То есть, либо мы оба с коллегой были неправы, либо правы

[type2b]

Ваши вопросы законны, и ответ состоит в том, что это дурацкие обозначения (я имею в виду матричные обозначения во всех случаях, кроме евклидова пространства). Чтобы не путаться, нужно всегда держать в уме инвариантный (бескоординатный) смысл объектов и операций, и потом пользоваться записью с индексами, а не матричными обозначениями. Операция транспонирования (за некоторыми исключениями) вообще не имеет инвариантного смысла!!! Нужно не пытаться его изобретать, а если уж решили такими обозначениями пользоваться, то явно продумать, что вы под ними понимаете в терминах индексов, и не противоречивы ли они. (Далее все векторные пространства полагаются вещественными.)

Для начала твердо закрепим то, что сомнений не вызывает. Пусть мы обозначаем с верхним индексом ($v^\mu$) элементы векторного пространства. Тогда элементы с нижними индексами ($u_\mu$) -- элементы дуального пространства (т.е. формы или, что то же самое, ковекторы). Здесь не может быть сомнений, т.к. смысл использования верхних и нижних индексов тот и только тот, что их можно инвариантно сворачивать. Чтобы это было так, ковекторы должны преобразовываться, действительно, обратными матрицами.

Теперь, пусть у нас выбрана метрика $\eta$. С помощью нее отождествим пространство с дуальным. Это значит, что вектору $v^\mu$ мы поставим в соответствие ковектор $v_\nu=\eta_{\nu\mu}v^\mu$, и будем их обозначать одной буквой, но с разным положением индексов. Преобразования, сохраняющие метрику, сохраняют и это отождествление.

Для тензоров будем использовать то же отождествление, т.е. обозначать одной буквой с разным положением индексов объекты, которые связаны, например, как $t_{\mu\nu}=t_{\mu}{}^\rho\eta_{\rho\nu}$. При этом надо отличать $t_\mu{}^\nu$ от $t^\nu{}_\mu$, если тензор не симметричен. Преобразования Лоренца условимся записывать как ${v'}^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu v^\nu$.

Самое близкое к транспонированию инвариантное понятие -- это сопряжение. Если пространство отождествлено с дуальным с помощью метрики, то матрица оператора, сопряженного к $\Lambda{}^\mu{}_\nu$, есть $\Lambda_\rho{}^\sigma$, которая определена выше с помощью поднимания/опускания индексов. (Проверьте это утверждение в качестве упражнения, исходя из определения сопряженного оператора.)

Теперь можно понять, что имелось в виду в тех дурацких матричных обозначениях. Выражение $\Lambda^T\eta\Lambda$ происходит из инвариантного выражения $\eta(\Lambda u,\Lambda v)=\eta(u,v)$, которое в координатах расписывается как $\Lambda^\mu{}_\nu \eta_{\mu\rho} \Lambda^\rho{}_\sigma=\eta_{\nu\sigma}$. "Транспонирование" здесь не преобразует лямбду ни во что, а просто напоминает нам, что у левой лямбды с $\eta$ свернут левый индекс, а не правый. Если мы захотим написать это уравнение через матрицу сопряженного оператора, то мы напишем $\Lambda^*\Lambda=1$, что в координатах выглядит как $\Lambda_\rho{}^\nu \Lambda^\rho{}_\sigma=\delta^\nu_\sigma$. Путаницы добавляет то, что в евклидовой сигнатуре транспонированием обозначают сопряжение.

Если мы хотим быть совсем варварами, то давайте введем другое транспонирование $t$, которое будет делать так: $(\Lambda^t)_\mu{}^\nu\equiv\Lambda^\mu{}_\nu$. Так писать плохо, потому что у этой $\Lambda^t$, если мы не в евклидовом пространстве, индексы преобразуются не так, как должны преобразовываться верхние и нижние индексы (а наоборот), и их нельзя инвариантно сворачивать с индексами других объектов. Теперь можем переписать то уравнение как $(\Lambda^t)_\mu{}^\nu \eta_{\mu\rho} \Lambda^\rho{}_\sigma=\eta_{\nu\sigma}$. Это плохая запись, но она обобщается на Евклид, где $\eta\equiv\delta$, а это кривое транспонирование тогда действует как сопряжение. Возможно, Вайнберг имел в виду это транспонирование $t$.

(Замечание. Транспонирование имеет инвариантный смысл в следующем случае. Пусть $A$ -- оператор из $V$ в $V^*$. Тогда, если в $V$ и $V^*$ выбраны дуальные базисы, то сопряженный к $A$ оператор записывается транспонированной матрицей. Евклид с матрикой $\delta_{\mu\nu}$ есть частный случай этого.)

Контрольный вопрос на засыпку. Что за инвариантный смысл у записи $\psi^\dagger\gamma_0\psi$ в теории Дирака?

[qftlearner]

В общем я пока склоняюсь к тому, что явно $(\Lambda^T)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$ писать нехорошо и поэтому при переводе из индексных обозначений в матричные (как, например, для $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$) транспонирование нужно производить что называется "в уме". Тогда вроде путаниц с $(\Lambda^{-1})^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$ быть не должно.
UPDATE
type2b, спасибо!

[Kirill_Sal]

type2b в сообщении #1016293 писал(а):

Контрольный вопрос на засыпку. Что за инвариантный смысл у записи $\psi^\dagger\gamma_0\psi$ в теории Дирака?

Это же матричный элемент не?

-- 17.05.2015, 09:47 --

А вернее нулевая компонента вектора тока. Впрочем, я пока не дошел до гамма-матриц.

[qftlearner]

type2b в сообщении #1016293 писал(а):

Контрольный вопрос на засыпку. Что за инвариантный смысл у записи $\psi^\dagger\gamma^0\psi$ в теории Дирака?

$\psi \to \Lambda_{\frac{1}{2}} \psi$
$\psi^{\dagger} \to \psi^{\dagger} \Lambda^{\dagger}_{\frac{1}{2}}$
$\psi^{\dagger} \gamma^0 \psi \to \psi^{\dagger} \Lambda^{\dagger}_{\frac{1}{2}} \gamma^0 \Lambda_{\frac{1}{2}} \psi = \psi^{\dagger} (1+ \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu}(S^{\mu \nu})^{\dagger}) \gamma^0 \Lambda_{\frac{1}{2}} \psi$. Дальше пользуемся тем, что для вращений $S^{\mu\nu}$ эрмитова и коммутирует с $\gamma^0$, а для бустов анти-эрмитова и антикоммутирует с $\gamma^0$. Поэтому можно "протащить" $\gamma^{0}$ через выражение в скобках, опустив $^{\dagger}$ у $(S^{\mu\nu})^{\dagger}$:
$\dots = \psi^{\dagger} \gamma^0 (1+ \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu}S^{\mu \nu}) \Lambda_{\frac{1}{2}} \psi = \psi^{\dagger} \gamma^0 \Lambda^{-1}_{\frac{1}{2}} \Lambda_{\frac{1}{2}}\psi = \psi^{\dagger} \gamma^{0} \psi$.

Так что это скаляр, кинетический (массовый) член в лагранжиане.

-- 17.05.2015, 11:02 --

Кстати, я поправлю себя (и встану на защиту Вайнберга ). Вайнберг, в противоположность тому что я написал в первом сообщении, вообще не пользуется транспонированием в этом контексте. В частности, у него нету $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$, он все пишет в индексных обозначениях. Так что наговорил я на него. Но путаница-то, конечно, была, потому что другие авторы пользуются матричными обозначениями в этом контексте.