Ваши вопросы законны, и ответ состоит в том, что это дурацкие обозначения (я имею в виду матричные обозначения во всех случаях, кроме евклидова пространства). Чтобы не путаться, нужно всегда держать в уме инвариантный (бескоординатный) смысл объектов и операций, и потом пользоваться записью с индексами, а не матричными обозначениями. Операция транспонирования (за некоторыми исключениями) вообще не имеет инвариантного смысла!!! Нужно не пытаться его изобретать, а если уж решили такими обозначениями пользоваться, то явно продумать, что вы под ними понимаете в терминах индексов, и не противоречивы ли они. (Далее все векторные пространства полагаются вещественными.)
Для начала твердо закрепим то, что сомнений не вызывает. Пусть мы обозначаем с верхним индексом (
) элементы векторного пространства. Тогда элементы с нижними индексами (
) -- элементы дуального пространства (т.е. формы или, что то же самое, ковекторы). Здесь не может быть сомнений, т.к. смысл использования верхних и нижних индексов тот и только тот, что их можно инвариантно сворачивать. Чтобы это было так, ковекторы должны преобразовываться, действительно, обратными матрицами.
Теперь, пусть у нас выбрана метрика
. С помощью нее отождествим пространство с дуальным. Это значит, что вектору
мы поставим в соответствие ковектор
, и будем их обозначать одной буквой, но с разным положением индексов. Преобразования, сохраняющие метрику, сохраняют и это отождествление.
Для тензоров будем использовать то же отождествление, т.е. обозначать одной буквой с разным положением индексов объекты, которые связаны, например, как
. При этом надо отличать
от
, если тензор не симметричен. Преобразования Лоренца условимся записывать как
.
Самое близкое к транспонированию инвариантное понятие -- это сопряжение. Если пространство отождествлено с дуальным с помощью метрики, то матрица оператора, сопряженного к
, есть
, которая определена выше с помощью поднимания/опускания индексов. (Проверьте это утверждение в качестве упражнения, исходя из определения сопряженного оператора.)
Теперь можно понять, что имелось в виду в тех дурацких матричных обозначениях. Выражение
происходит из инвариантного выражения
, которое в координатах расписывается как
. "Транспонирование" здесь не преобразует лямбду ни во что, а просто напоминает нам, что у левой лямбды с
свернут левый индекс, а не правый. Если мы захотим написать это уравнение через матрицу сопряженного оператора, то мы напишем
, что в координатах выглядит как
. Путаницы добавляет то, что в евклидовой сигнатуре транспонированием обозначают сопряжение.
Если мы хотим быть совсем варварами, то давайте введем другое транспонирование
, которое будет делать так:
. Так писать плохо, потому что у этой
, если мы не в евклидовом пространстве, индексы преобразуются не так, как должны преобразовываться верхние и нижние индексы (а наоборот), и их нельзя инвариантно сворачивать с индексами других объектов. Теперь можем переписать то уравнение как
. Это плохая запись, но она обобщается на Евклид, где
, а это кривое транспонирование тогда действует как сопряжение. Возможно, Вайнберг имел в виду это транспонирование
.
(Замечание. Транспонирование имеет инвариантный смысл в следующем случае. Пусть
-- оператор из
в
. Тогда, если в
и
выбраны дуальные базисы, то сопряженный к
оператор записывается транспонированной матрицей. Евклид с матрикой
есть частный случай этого.)
Контрольный вопрос на засыпку. Что за инвариантный смысл у записи
в теории Дирака?