Топологическая структура

[Sicker]

Существует ли локально евклидово пространство с топологией сферы?
Ну те еможно ли на сфере задать такой метрический тензор, что геометрия в любой небольшой области евклидова?

[Munin]

Теорема Гаусса — Бонне

Удивительная вещь, откровенно говоря.

[Sicker]

Да, но как это отвечает на мой вопрос?...

[Munin]

Наводящие вопросы:
- чему равно в вашем случае подынтегральное выражение?
- чему равен интеграл?
- чему равна эйлерова характеристика сферы?

[Sicker]

Munin в сообщении #1016037 писал(а):

чему равно в вашем случае подынтегральное выражение?

Нулю

Munin в сообщении #1016037 писал(а):

чему равен интеграл?

Нулю

Munin в сообщении #1016037 писал(а):

чему равна эйлерова характеристика сферы?

Двум
Кажись понял

[svv]

Интересно, что как раз в случае тора (сферы с одной ручкой), когда $\chi=0$, и теорема не возражает против $K\equiv 0$ на многообразии, действительно оказывается возможным задать такой метрический тензор, как Вы хотели. То есть шанс реализуется.

[Sicker]

Ага

[Munin]

Контрольный вопрос на усвоение материала: чему равна эйлерова характеристика плоскости? :-)

[Sicker]

Нулю?:)

[Brukvalub]

Не угадали!

[Sicker]

А плоскость не имеет границы?)

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1016077 писал(а):

А плоскость не имеет границы?)

Границы - не имеет, потеряла, а Эйлерову характеристику - уберегла!

[Sicker]

А теорема Гаусса-Бонне применима?

[VanD]

Sicker в сообщении #1015967 писал(а):

Существует ли локально евклидово пространство с топологией сферы?
Ну те еможно ли на сфере задать такой метрический тензор, что геометрия в любой небольшой области евклидова?

Между тем, что стоит слева от

Sicker в сообщении #1015967 писал(а):

те

и справа - пропасть.
Ответ на первый вопрс - да, например, сфера. Ответ на второй - нет, риманова метрика (если речь о ней) имеет локальный инвариант, который не удаётся сохранить - гауссову кривизну. Теорема Гаусса-Бонне - из пушки по воробьям.

[Geen]

Прошу прощения, не понял, а "гладкое ненулевое" тензорное поле на сфере задать можно?