Ослабить норму

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #1015345 писал(а):

А не получится так, что тогда всякое банахово пространство вкладывается в гильбертово? Мы же знаем, ч

получится, похоже. значит в одном из тех мест, что я не стал проверять, засада

-- Пт май 15, 2015 10:33:37 --

я что-то запутался для каких пространств ослабляемость нормы уже доказана?

[sup]

Для сепарабельных. А затем уже для всех.
Сначала берем счетное подмножество, замыкаем и получаем замкнутое подпространство $E$. Его вкладываем в гильбертово и ослабляем норму. Потом берем единичный шар в нашем пространстве и единичный шар (по слабой норме) в $E$ и организуем замкнутую выпуклую оболочку. Получится единичный шар искомой слабой нормы в $X$.
Но это как-то тяжеловесно. Может как-то модифицировать Вашу начальную идею. Возьмем счетное множество функционалов $\{f_n\}$. Рассмотрим $Z = \bigcap \limits_n \ker f_n$. На фактор-пространстве эти функционалы образуют тотальное множество. Поэтому там норму можно ослаблять по Вашей схеме. Вот бы потом организовать какую-нибудь прямую сумму. Ну что-то в этом духе.

[AGu]

Простите, я слегка заработался и долго не реагировал. (Вероятно, снова исчезну на какое-то время.)

Oleg Zubelevich, sup, вы славно поработали и решили задачу! Я поддерживаю ваше стремление найти более простое доказательство. Оно есть. (Грубо говоря, «в одну строчку». Ну или в пару-тройку строк + коротенькие поясняющие комментарии.)

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1015404 писал(а):

Oleg Zubelevich, sup, вы славно поработали и решили задачу!

спасибо на добром слове, но решил sup

кстати есть лемма такая (на самом деле в ней значительно больше утверждается) что если $X$ -- сепарабельное банахово, то в $X'$ имеется счетная тотальная система функционалов. [Lindenstrauss, Tzafriri Classical Banach Spaces I]. Так что для сепарабельного пространства результат получается мгновенно.

[Oleg Zubelevich]

хотя этот факт очевиден и без ссылок на учебники

[AGu]

Oleg Zubelevich в сообщении #1015417 писал(а):

если $X$ -- сепарабельное банахово, то в $X'$ имеется счетная тотальная система функционалов.

Верно!

Oleg Zubelevich в сообщении #1015503 писал(а):

этот факт очевиден и без ссылок на учебники

Верно!

Стало быть, осталось научиться продолжать ослабленную норму с (сепарабельного) подпространства на все пространство.

[sup]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1015503 писал(а):

хотя этот факт очевиден и без ссылок на учебники

Дык вот и я поначалу подумал, что там очевидное счетное множество функционалов, которое различает счетный набор точек. Ну и на замыкании должны образовать тотальное множество. А потом какие-то сомнения меня одолели ... Вот и начал вложения в гильбертово пространство привлекать.

Пусть дано замкнутое подпространство $E$. Неужто

$$\|x\|_{weak} = \min \limits_{e \in E}(\|e\|_E + \|x - e\|_X)$$

[Oleg Zubelevich]

а разве минимум обязан достигаться?

[sup]

Конечно же здесь $\inf$.

(Оффтоп)

Я как-то с маху написал, а потом уже не стал исправлять ...
Мне показалось, что все и без моих поправок поймут, что тут имелся в виду $\inf$.