Определение принадлежности элемента множеству

[zm_sansan]

Как можно сформулировать определение принадлежности элемента множеству?
Является ли это возможным или как с определением множества определить нельзя. А если нельзя, то не по тому ли что сами понятия множества и принадлежности, а возможно и элемента учавствуют в конструировании определения понятий и поэтому если бы и было возможно определить, то определение получалось бы через само себя, что является логической ошибкой.

[Brukvalub]

Вопрос: а как вы определяете понятие "множество"?

[zm_sansan]

Brukvalub в сообщении #1014346 писал(а):

Вопрос: а как вы определяете понятие "множество"?

Никак не определяю, ну можно на примерах объяснить что это такое, типа все люди - это множество, а конкретный человек элемент - этого множества.

[Brukvalub]

Вот тебе и раз! Как же тогда отличить множества от не-множества?

[zm_sansan]

Brukvalub в сообщении #1014508 писал(а):

Вот тебе и раз! Как же тогда отличить множества от не-множества?

Ну сначала учишь мозги распознавать множества, а всё что не распозналось это не множество. А вы как определяете? Я на уровне интуиции как раз понимаю.

[Sonic86]

Когда множество определено на уровне интуиции (наивная ТМ), то и отношение принадлежности определяется так же - на уровне интуиции.

[Brukvalub]

zm_sansan в сообщении #1014517 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1014508 писал(а):

Вот тебе и раз! Как же тогда отличить множества от не-множества?

Ну сначала учишь мозги распознавать множества, а всё что не распозналось это не множество. А вы как определяете? Я на уровне интуиции как раз понимаю.

В наивной теории множеств множество считается корректно заданным как раз тогда, когда описано, как для каждого предмета определить, является он элементом этого множества, или нет. Как же вы задаете множества, если не знаете нужного способа?

[vladb314]

zm_sansan в сообщении #1014305 писал(а):

Как можно сформулировать определение принадлежности элемента множеству?
Является ли это возможным или как с определением множества определить нельзя.

Ну, вообще, это является возможным. Только строгое определение вводится не в наивной теории множеств, а в ZFC. И на языке исчисления предикатов.

[zm_sansan]

Цитата:

В наивной теории множеств множество считается корректно заданным как раз тогда, когда описано, как для каждого предмета определить, является он элементом этого множества, или нет. Как же вы задаете множества, если не знаете нужного способа?

Определить понятие "множество" и задать его, по-моему, это разные вещи. Задать можно перечислив все его элементы или установив ограничения на них. Но определив способ задания множеств, я всё равно не знаю как дать определение понятия "множество".

-- 14.05.2015, 00:19 --

Проблема у меня другая, в частности меня интересует является ли "принадлежность элемента множеству" отношением между элементом и множеством, так как если использовать определение отношения , то получается что, описываемая "принадлежность элемента множеству" будет выражаться через туже самую принадлежность элемента множества, то есть через само себя, тогда получается логическая ошибка. А если "принадлежность элемента множеству" не отношение, то тогда что это. Какая-та ситуация выходит, что язык для описания отношений невозможно применить к самому себе.

[arseniiv]

zm_sansan в сообщении #1014736 писал(а):

А если "принадлежность элемента множеству" не отношение, то тогда что это.

Отношение-класс. Класс — это просто способ поделить все множества на две части, множества из одной из которых считаются в него входящими. При этом некоторым классам соответствуют множества, содержащие ровно те множества, которые входят в класс, но другим — нет (например, класс всех ординалов или класс вообще всех множеств). Например, отношение равенства сразу на всех множествах организовать можно — это класс всех пар с одинаковыми элементами. Отношение принадлежности тоже «большое». Классы чуть ограниченнее в арсенале операций, чем множества — собственно, их нельзя никуда «положить» элементом, так что композиция двух функций-классов, например, (тоже в общем случае в виде класса) существует, а пара из двух таких функций — уже нет.

После достаточно хорошего ознакомления (чтобы не было путаницы при получении класса, не являющегося множеством) классы записывают так же как множества — $\{x:\varphi\}$, где $\varphi$ — формула с одной свободной переменной $x$, истинная на элементах класса. Вместо $\varphi[t/x]$ тогда можно писать $t\in\{x:\varphi\}$, что удобно, если мы дадим той скобке имя (например, $V=\{x : x=x\}$ — класс всех множеств*). Те операции над множествами, которые распространяются на классы, после этого записываются неотличимо.

* Вместо $x=x$ можно взять любую другую общезначимую формулу — например, $\exists y.x\in y$ (это гарантирует аксиома пары) или там $x=\varnothing\vee x\ne \varnothing$.

Это что касается той наивной теории, которая формализуется аксиоматическими теориями ZFC/NBG. Есть теории, где классы выстраиваются в лестницу, элементы нижних ступенек которой могут быть элементами верхних. Такое обычному математику, вроде, нужно раз в сто лет.

Боюсь, написал не совсем ясно. Найти классы можно много в каком изложении теории множеств, только чего-то опять забыл, что мог бы посоветовать; надеюсь на чью-нибудь помощь.

[vladb314]

zm_sansan в сообщении #1014736 писал(а):

А если "принадлежность элемента множеству" не отношение, то тогда что это. Какая-та ситуация выходит, что язык для описания отношений невозможно применить к самому себе.

А где вы найдёте формальный язык, который можно было бы применить к самому себе? Обычно для построения формальной теории с её языком используется метатеория и её метаязыком. Например, для построения теории множеств можно применить метатеорию исчисления предикатов. И там символ $\in$ - это просто двухместный предикатный символ, правила употребления которого строго регламентированы. А для построения исчисления предикатов метатеорией может служить теория множеств: там каждый символ есть "другое обозначение" какого-то множества, существование которого заранее установлено. И определение формул исчисления вводится на основе теоретико-множественных определений. Как-то так.

Рекомендую книжки:
Колмогоров, Драгалин. Математическая логика.
Ершов, Палютин. Математическая логика.

А вообще, построение формальной теории без использования метатеории, я думаю, интересный вопрос, стоит обсудить.

[Sonic86]

zm_sansan в сообщении #1014736 писал(а):

Проблема у меня другая, в частности меня интересует является ли "принадлежность элемента множеству" отношением между элементом и множеством, так как если использовать определение отношения
, то получается что, описываемая "принадлежность элемента множеству" будет выражаться через туже самую принадлежность элемента множества, то есть через само себя, тогда получается логическая ошибка. А если "принадлежность элемента множеству" не отношение, то тогда что это. Какая-та ситуация выходит, что язык для описания отношений невозможно применить к самому себе.

А противоречивость наивной ТМ Вас уже не пугает, да?

[zm_sansan]

arseniiv в сообщении #1014793 писал(а):

zm_sansan в сообщении #1014736 писал(а):

А если "принадлежность элемента множеству" не отношение, то тогда что это.

Отношение-класс. Класс — это просто способ поделить все множества на две части, множества из одной из которых считаются в него входящими. При этом некоторым классам соответствуют множества, содержащие ровно те множества, которые входят в класс, но другим — нет (например, класс всех ординалов или класс вообще всех множеств). Например, отношение равенства сразу на всех множествах организовать можно — это класс всех пар с одинаковыми элементами. Отношение принадлежности тоже «большое». Классы чуть ограниченнее в арсенале операций, чем множества — собственно, их нельзя никуда «положить» элементом, так что композиция двух функций-классов, например, (тоже в общем случае в виде класса) существует, а пара из двух таких функций — уже нет.

После достаточно хорошего ознакомления (чтобы не было путаницы при получении класса, не являющегося множеством) классы записывают так же как множества — $\{x:\varphi\}$, где $\varphi$ — формула с одной свободной переменной $x$, истинная на элементах класса. Вместо $\varphi[t/x]$ тогда можно писать $t\in\{x:\varphi\}$, что удобно, если мы дадим той скобке имя (например, $V=\{x : x=x\}$ — класс всех множеств*). Те операции над множествами, которые распространяются на классы, после этого записываются неотличимо.

* Вместо $x=x$ можно взять любую другую общезначимую формулу — например, $\exists y.x\in y$ (это гарантирует аксиома пары) или там $x=\varnothing\vee x\ne \varnothing$.

Это что касается той наивной теории, которая формализуется аксиоматическими теориями ZFC/NBG. Есть теории, где классы выстраиваются в лестницу, элементы нижних ступенек которой могут быть элементами верхних. Такое обычному математику, вроде, нужно раз в сто лет.

Боюсь, написал не совсем ясно. Найти классы можно много в каком изложении теории множеств, только чего-то опять забыл, что мог бы посоветовать; надеюсь на чью-нибудь помощь.

По знаку "принадлежности" совокупности объектов, для которых описывается отношение, я сделал вывод что отношение является всегда множеством. А если как вы пишите, записан класс в синтаксисе множеств(что по-моему ужасно, так как ведёт к таким путаницам), то возможно это разрешит задачу, так как если имеется смысловое различие в "принадлежности элемента множеству" и "принадлежности некого объекта классу", то отношение "принадлежности элемента множеству"(будем считать отношением), не будет выражаться через само себя, при описании этого отношения, а выразится соответственно через "принадлежности некого объекта классу".
Теперь мне необходимо ознакомиться что такое классы, и если отношение является классом, то как это соотносится с совокупностью элементов для которых описывается отношение. Пока мне мало ясно. Но спасибо, возможно это поможет разрешить задачу.

Если посмотреть определение класса в википедии: Класс (математика) — произвольная совокупность множеств, обладающих каким-либо определённым свойством или признаком.
То не понятно, свойство или признак - являются отношением. А как вы пишите отношение является классом, и что тогда получится такой вот случай:
Отношение - произвольная совокупность множеств, обладающих каким-либо определённым отношением. - опять само через себя... так и не пойму что такое отношение.

Sonic86 в сообщении #1014858 писал(а):

zm_sansan в сообщении #1014736 писал(а):

Проблема у меня другая, в частности меня интересует является ли "принадлежность элемента множеству" отношением между элементом и множеством, так как если использовать определение отношения
, то получается что, описываемая "принадлежность элемента множеству" будет выражаться через туже самую принадлежность элемента множества, то есть через само себя, тогда получается логическая ошибка. А если "принадлежность элемента множеству" не отношение, то тогда что это. Какая-та ситуация выходит, что язык для описания отношений невозможно применить к самому себе.

А противоречивость наивной ТМ Вас уже не пугает, да?

С глазу на глаз с этим не сталкивался.

Я использую основное множество, для которого задаются подмножества. Для множеств можно задавать элементы.
И множества и элементы я называю объектами. Для любых двух объектов можно задавать произвольное бинарное отношение(пока только бинарное, потом расширю).
Имеются два основных отношения: "принадлежит множеству" и "множество является подмножеством другого множества" . - можно конечно сказать что это метаязык и не надо их считать на равне со всем остальным отношением, но интуитивно они кажутся отношениями, поэтому и включил.

И я считал раньше Отношения множествами, для которых пары объектов "принадлежит множеству". Но в таком случае, если взять отношение "принадлежит множеству" и описывать включение в него пар объектов, то получится выражение через само себя, то есть: пара <объект_1, объект_2>, отношение "принадлежит множеству", отношение "принадлежит множеству" - это просто описал бинарное отношение, внутри отношение, а по краям объекты между которыми оно задаётся.

[Sonic86]

zm_sansan в сообщении #1014915 писал(а):

С глазу на глаз с этим не сталкивался.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B0

zm_sansan в сообщении #1014915 писал(а):

Я использую основное множество, для которого задаются подмножества. Для множеств можно задавать элементы.

Основное множество обычно называется универсальным.
Если вы работаете только внутри универсального множества и отношение $\in$ рассматриваете там же, то $\in$ - отношение, для него можно выписать задающее его множество. Классы нужны когда универсума нет.
Т.е. если универсум $U=\{1,2,3\}$, то $\in \leftrightarrow\{(1,\{1\}),(1,\{1,2\}),(1,\{1,2,3\}),...,(3,\{3\}),...\}\subset U\times \mathcal{P}(U)$

(Оффтоп)

vladb314 в сообщении #1014843 писал(а):

Рекомендую книжки:
...
Ершов, Палютин. Математическая логика.

Как вспомню, так мороз по коже...

[zm_sansan]

у меня сейчас так: любое отношение считаю одним из подмножеств основного множества. $\in$ , $\subset$ - отношения.
И они включены в основное множество... так наверно поэтому у меня проблемы, отношение подмножества включается с помощью отношения подмножества в основное множество.. но вот как это обойти. или не включать $\in$ , $\subset$ в отношения и в основное множество, а описать на метаязыке, это можно. но чую что это тоже отношения, вот и пытаюсь найти другой выход, возможно классы помогут как то.
Может если отношения это класс, то они не будут включатся в основное множество. Но как класс связан с отношением я ещё не понял, я об этом уже писал.