Конденсатор и его напряженность

[amon]

Munin в сообщении #1014726 писал(а):

Предлагаю посмотреть на уравнение Пуассона.

Так и я могу, а как с помощью Гаусса?

[Ms-dos4]

svv
Да, это красиво!
-----
Я вообще для изначальной задачи рассуждал так - $\[{E_n}\]$ может создать только "бока" диэлектрика (с поверхностной плотностью заряда $\[\sigma \]$). Однако она равна нулю ввиду симметрии (вот тут уже достаточно даже осевой), ибо закон сохранения заряда ещё не отменялся (т.е. знак на обоих боках диэлектрика одинаковый).

[Munin]

amon в сообщении #1014728 писал(а):

Так и я могу, а как с помощью Гаусса?

1. Разобьём конденсатор на сферические слои $dr,$ и вставим между ними бесконечно тонкие проводящие слои. Ничего не изменится. (Это, кстати, ещё одна не замеченная нами симметрия - масштабная.)

2. У поверхности обкладки $\mathbf{E}\perp ds.$ В силу п. 1, точно так же $\mathbf{E}$ направлено по радиусу и во всём объёме конденсатора.

3. Выберем контур, состоящий из двух радиусов, и замкнутый двумя путями по обкладкам. В силу того, что циркуляция $\mathbf{E}$ равна 0, получаем, что $E(r)$ на любом радиусе - одна и та же функция.

4. А теперь триумфально взываем к Гауссу.

[amon]

Ms-dos4 в сообщении #1014734 писал(а):

$\[{E_n}\]$ может создать только "бока" диэлектрика

А давайте рассмотрим другую задачу. Есть заряженная по поверхности полусфера с полным зарядом ноль. К ней Ваши рассуждения точно не применимы. В случае сферического конденсатора важны сферически симметричные граничные условия. Они, вместе с принципом максимума, дают сферическую симметрию решения, и как это загнать в теорему Гаусса?

[svv]

Munin в сообщении #1014740 писал(а):

1. Разобьём конденсатор на сферические слои $dr,$ и вставим между ними бесконечно тонкие проводящие слои. Ничего не изменится. (Это, кстати, ещё одна не замеченная нами симметрия - масштабная.)

Я тоже хотел это выразить, но не знал как.

[amon]

Munin в сообщении #1014740 писал(а):

Разобьём конденсатор на сферические слои $dr,$ и вставим между ними бесконечно тонкие проводящие слои.

Этим мы навязали задаче сферическую симметрию. Тогда есть способ проще. Взять сферически симметричное решение и проверить, что оно удовлетворяет Пуассону. У меня другой вопрос - как на уровне 1-го, 2-го курса догадаться о сферической симметрии.

[Munin]

amon в сообщении #1014750 писал(а):

Этим мы навязали задаче сферическую симметрию. Тогда есть способ проще. Взять сферически симметричное решение и проверить, что оно удовлетворяет Пуассону.

Да, это по сути одно и то же.

amon в сообщении #1014750 писал(а):

У меня другой вопрос - как на уровне 1-го, 2-го курса догадаться о сферической симметрии.

Ну как, как? Угадать. Боюсь, больше никак (особенно в расширенной задаче от svv).

[Ms-dos4]

amon в сообщении #1014743 писал(а):

А давайте рассмотрим другую задачу. Есть заряженная по поверхности полусфера с полным зарядом ноль. К ней Ваши рассуждения точно не применимы.

Если честно, не очень понял что вы имеете ввиду.
Я же говорил по сути о том, что эта подзадача похожа на задачу о точечном заряде на границе вакуума и диэлектрика, где очевидно связанная плотность заряда на границе есть нуль. У нас же не точечный заряд, а кусок проводящей полусферы, однако она даёт поле только параллельное границе раздела, и вне этой границы, как мне кажется, все рассуждения аналогичны той задаче, что и даёт $\[\sigma = 0\]$. Хотя может быть я и туплю.

[Munin]

amon в сообщении #1014743 писал(а):

А давайте рассмотрим другую задачу. Есть заряженная по поверхности полусфера с полным зарядом ноль.

Вот я тоже не понял. Можно пояснить рисунком или подробным описанием?

-- 14.05.2015 18:13:50 --

Ms-dos4 в сообщении #1014773 писал(а):

Я же говорил по сути о том, что эта подзадача похожа на задачу о точечном заряде на границе вакуума и диэлектрика, где очевидно связанная плотность заряда на границе есть нуль.

Вот хорошая догадка! Да, мы берём поле такого точечного заряда, и "вырезаем" из него обкладками часть.

-- 14.05.2015 18:15:37 --

Хотя мне $\rho_\text{связ}=0$ пока не очевидно... приходится привлекать продвинутые знания: метод отражений, или масштабную симметрию задачи.

[amon]

Ms-dos4,

Munin в сообщении #1015053 писал(а):

Вот я тоже не понял. Можно пояснить рисунком или подробным описанием?

Я, видимо, коряво сказал. Мысль была простая. Давайте выковырнем диэлектрическую вставку из шариков, не нарушив распределения поляризаций в ней (мысленно!). Очевидно (мне, другим - может и нет), что электрическое поле этого куска диэлектрика будет отлично от нуля, хотя ее полный заряд - ноль, и это поле я ни как по Гауссу не получу, равно как и распределение заряда в диэлектрике. Поэтому рассуждения относительно $\[{E_n}\]$ не очевидны. Нужен металлический шарик в середине, он задаст сферическую симметрию потенциала, которую диэлектрик порушить не сможет, а где этот шарик в "Гауссовом" решении я не улавливаю. Хотя, ответ получается правильный, и победителей не судят.

[Munin]

amon в сообщении #1015076 писал(а):

Мысль была простая. Давайте выковырнем диэлектрическую вставку из шариков, не нарушив распределения поляризаций в ней (мысленно!). Очевидно (мне, другим - может и нет), что электрическое поле этого куска диэлектрика будет отлично от нуля, хотя ее полный заряд - ноль, и это поле я ни как по Гауссу не получу, равно как и распределение заряда в диэлектрике.

Да. Не получите. Потому что вы искусственно усложнили задачу. Вылили воду из чайника. Для решения вашей задачи надо вставить вставку обратно в обкладки, и решить предыдущую задачу, и тогда можно будет найти распределение заряда в диэлектрике. (Вот поле - ещё сложнее.)

amon в сообщении #1015076 писал(а):

Нужен металлический шарик в середине, он задаст сферическую симметрию потенциала, которую диэлектрик порушить не сможет

Нет, нужны обе обкладки.

[amon]

Munin в сообщении #1015095 писал(а):

Нет, нужны обе обкладки.

Естественно. Я нечетко высказался, виноват.