Задача ЕГ2012 на дроби

[eugrita]

На ЕГ2012 была предложена задача
"Бесконечная 10-ичная дробь устроена так. Перед десятичной запятой стоит 0 После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел $a_n$ В результате получено рациональное число, кот выражено несократимой дробью, с знаменателем меньше 100 .Найдите наименьшее возможное значение $a_3$"
Эта задача разобрана в частности в классическом сборнике 36 вариантов Ященко. Ответ там такой $a_3=3$
и в качестве примера удовлетворяющего условию задачи приводят $\frac{10}{81}$.
Я утверждаю что пример ошибочен легко проверить найдя 1-е 10 цифр после запятой что
$\frac{10}{81}=0,1234567790$.а последовательность которую они видимо имели ввиду имеет вид
$0,123456789101112131415...$. Я не берусь утверждать даже что дробь моего примера представляет рациональное число. Ощибка возникла видимо из-за их подхода к решению - суммирования бесконечных дробей
$0,(1)$,.... $0,0(1)$ ...,... $0,00(1)$ и т д.
так действительно получается число $n \cdot 10^{-n}$ в n-разряде после запятой в том числе при $n >9$
но проигнорированы правила переноса при сложении чисел

[NSKuber]

Во-первых, $\frac{10}{81}\approx 0,12345679012345679012345679012346...$, вы, похоже, описались.
Во-вторых, понятно, что любое не представимое в виде конечной десятичной дроби число, не меньшее $0,1$, можно представить в виде, данном в условии задачи. Достаточно в качестве каждого следующего $a_n$ брать число с достаточно большим числом цифр. Например, для $\frac{1}{3}=0,33333333...$ можно взять такую последовательность: $3, 33, 333, 3333,...$. Вы, возможно, решили, что должна получиться арифметическая прогрессия, но в условии - просто возрастающая последовательность.
Далее, в силу возрастания и натуральности, очевидно, $a_3$ не может быть меньше тройки. Осталось найти рациональное число (не меньшее $0,1$, со знаменателем, меньшим $100$) такое, что его десятичное представление имеет вид $0,123\alpha...$, где $\alpha$ (цифра) - не ноль. Тогда можно будет взять $a_1=1, a_2=2, a_3=3$, а далее как угодно. $\frac{10}{81}$ очень даже подходит.

[eugrita]

Да согласен. Согласен и с ошибкой записи $3/81$ Но несогласен с решением предложенным у Ященко.
тогда вообще лучше ставить задачу так
Найти целые $m,n$ $n<100 $ удовлетворяющие неравенству
$123 \cdot n < 1000 \cdot m < 124 \cdot n $
(И возможно использовать методы приближения подходящими дробями Правда в школьной программе этого нет)
Кстати подобная формулировка возникает при решении другой C6 на тему задачи раскроя со стандартными кусками

[eugrita]

При встрече с любой задачей математики я привык классифицировать ее тип. В данном случае можно эту задачу рассматривать как закамуфлированный тип "диофантово приближение с заданным ограничением для знаменателя" (<100). В любом случае хорошо бы тому кто с ней встретиться иметь представление о приближении чисел рациональными дробями. В такой формулировке задачу можно поставить и в информатике - написать программу нахождения рационального приближения заданного числа с заданной точностью с наименьшим знаменателем. для технарей- - подбор зубчатых пар с данным передаточным отношением.нашел родственную на форуме
http://dxdy.ru/topic21076.html

[arseniiv]

(Оффтоп)

eugrita в сообщении #1013764 писал(а):

На ЕГ2012

Где?

[eugrita]

(Оффтоп)

Вообще видно тема диофантового приближения достаточно серьезна и искусственно не вымученная.
Такие математики как например амер. С.Ленг ее касались в монографиях и она вполне достойна
найти свое отражение в компьютерной практике если не школьников то на олимпиадах или у студ 1 курса.

[eugrita]

Хоть это и неправильно методически - математическую задачу решать программным путем,
привожу компьютерное решение задачи рационального приближения 10-чн дробей
с заданной точностью $eps $ с мин знаменателями
$ xm=0,1230.... xb=0,1240... eps=0,0005$
$ m/n=8/65
$ m/n=9/73
$ m/n=10/81
$ m/n=11/89
$ m/n=12/97
------------------------------
$xm=0,233 ... xb=0,237... eps=0,002
$m/n=4/17
$m/n=7/30
---------------------
Программа тупо методом грубой силы перебирая знаменатели n в возрастающем порядке находит 1-е 5 рациональных приближения. Школа отдыхает (хотел бы увидеть школу где 5- или 6-класснику поставили такую задачу)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

eugrita
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом, программный код - тегом code.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Возвращено

[grizzly]

eugrita в сообщении #1014320 писал(а):

$ m/n=8/65$

Занудства ради отмечу, что это решение не удовлетворяет необходимому условию:

NSKuber в сообщении #1013775 писал(а):

десятичное представление имеет вид $0,123\alpha...$, где $\alpha$ (цифра) - не ноль.