Классический университетский маразм, 3-е издание

[Kras]

Итак, сначала хотелось бы предложить участникам одну вспомогательную задачу. Имеется множество $A=\{a,b\}$ и множество $X=\{x,y\}$, причём $a \neq b$ и $x \neq y$. Сколько различных элементов содержится в декартовом произведении $A \times X$ ?

Теперь одна фраза из учебника "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" В.А. Ильина, Г.Д. Ким, §6, с. 43

Какой-то умник писал(а):

Множество $\mathbb{Q}$ всех рациональных чисел можно рассматривать как декартово произведение $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова. 3-е издание, переработанное и дополненное. Учебник удостоен премии Президента Российской Федерации в области образования.

[Xaositect]

Фраза, конечно, ужасна, но при чем тут произведение двухэлементных множеств?

[Red_Herring]

И никаких замечаний по поводу того что некоторые пары отождествляются?

[Kras]

Ну, будет намного проще, если взять например $A=\{2,4\}$ и $X=\{7,14\}$. Отобразим теперь пары в обыкновенные дроби, у нас получается, что $\frac{2}{7}=\frac{4}{14}$. Двухэлементные множества - для простоты и наглядности, чтобы показать в чём тут дело. То есть это даже не опечатка, это именно ошибка, ошибочное утверждение.
Red_Herring
Да, никаких замечаний и никакой дополнительной информации.

[Brukvalub]

Kras в сообщении #1014339 писал(а):

Red_Herring
Да, никаких замечаний и никакой дополнительной информации.

"Поздравляю вас, гражданин, соврамши!"

Red_Herring в сообщении #1014335 писал(а):

И никаких замечаний по поводу того что некоторые пары отождествляются?

Почему нет замечаний? В той же книге чуть ниже, в теме "отношение эквивалентности" разъясняется, что рац. числа - это классы эквивалентности, получаемые на множестве дробей с целым числителем и натуральным знаменателем с помощью известного отношения эквивалентности. Просто авторы не защищались от провокаторов и написали текст так, что провокаторам теперь удобно вытащить из текста отдельную фразу и раздуть скандал: "Универ - отстой, ВШЭ - рулит!!!".

[Nemiroff]

Ну и чё? Ну неправильный пример. И что? Что предлагается обсуждать в теме?

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1014342 писал(а):

"Универ - отстой, ВШЭ - рулит!!!"

Не ВШЭ, а тифаретник. Вы как будто других постов ТС не читали, право!

[Kras]

Brukvalub, вы думаете я дочитал? Множество $\mathbb{Q}$ однако не является декартовым произведением $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$.

[iifat]

И чо, собственно? Множество рациональных чисел вполне можно рассматривать как прямое произведение. Таки да, обычно, говоря про $\mathbb Q$, имеется в виду множество с кучей отношений — равенства, суммы, произведения и т.п. Однако, когда мы хотим иллюстрировать прямое произведение, в разделе, напомню, не теории множеств, а введения в линейную алгебру, вполне, имхо, допустимо так сказать.
Почему б вам не начать с учебника по арифметике для, не помню уж, первого или какого там класса? Вы не поверите: там нет аксиоматики Пеано! Да-да, беззащитным детям дурят головы!

[Brukvalub]

Kras в сообщении #1014350 писал(а):

Brukvalub, вы думаете я дочитал? Множество $\mathbb{Q}$ однако не является декартовым произведением $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$.

Бедняга, он так хотел устроить провокацию, что не дочитал, а сразу стал размахивать руками и поливать грязью!
Раньше провокаторы работали тоньше, нынешняя молодежь тоже хочет заморских пряников, но работает топорно, сердят своих хозяев неумением!

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #1014342 писал(а):

В той же книге чуть ниже,

У меня этой книги нет. Мой личный опыт: если этот "чуть" больше пары абзацев, то значительная часть студентов (честных, но не очень способных) этот "чуть" не преодолеет.

Разумеется, называть это маразмом не стоит, но отсутствие сноски (см. там-то) — упущение, которое авторам стоит исправить. И думаю не стоит все сводить к разборкам Университет—ВШЭ.

[Kras]

Brukvalub, отношение эквивалентности - это другой параграф. Когда я встречаю подобную шнягу, то теряется смысл далее вчитываться в учебник.

[Anton_Peplov]

iifat в сообщении #1014353 писал(а):

Таки да, обычно, говоря про $\mathbb Q$, имеется в виду множество с кучей отношений — равенства, суммы, произведения и т.п.

Все эти отношения можно ввести между парами $(z \in\mathbb{Z}, n \in \mathbb{N})$ так, что они будут совпадать с соответствующими отношениями между рациональными $\frac{z}{n}$. В конце концов, если у Ильина и Позняка комплексное число вводится как пара действительных, почему рациональное число не ввести как пару целых? Нужно, конечно, указать, какие пары отождествляются, ну так это можно сделать, определив отношение равенства.

(Оффтоп)

Я не спорю, что фраза в учебнике неудачна и может запутать, но ТС, видимо, просто решил повредничать и показать, какой он поборник выверенных формулировок в отличие от всяких там МГУшных профессоров. Ну, самолюбование - вещь хорошая, но тему, думаю, пора закрывать за отсутствием предмета обсуждения.

[Brukvalub]

Kras в сообщении #1014362 писал(а):

Brukvalub, отношение эквивалентности - это другой параграф. Когда я встречаю подобную шнягу, то теряется смысл далее вчитываться в учебник.

Да, да, как сейчас помню: еще моя бабушка мне говорила, что тот, кто ищет грязи, обязательно найдет ее даже в стерильной операционной.
Соглашусь лишь с одним: авторам не стоило разносить объяснение построения рац. чисел в разные параграфы, но, как в том анекдоте про старую бандершу и плохого клиента, "это не ужас-ужас-ужас, а всего лишь ужас".

-- Ср май 13, 2015 12:25:19 --

Red_Herring в сообщении #1014361 писал(а):

У меня этой книги нет

У меня тоже полчаса назад ее не было. Но она есть на генезисе, значит, есть у каждого!

[Kras]

Не подскажет ли кто-нибудь из участников, что такое Ким Галина Динховна? Если она в МГУ читает лекции, то это конечно здорово...

-- 13.05.2015, 14:34 --

Brukvalub в сообщении #1014366 писал(а):

не стоило разносить объяснение построения рац. чисел в разные параграфы

Думаете, не стоило?

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1014366 писал(а):

У меня тоже полчаса назад ее не было. Но она есть на генезисе, значит, есть у каждого!

О, значит, мы смотрим в одно и тоже издание. Вы действительно считаете, что там достаточно понятно всё разъяснено? Т. е. там говорится про отношение равенства на множестве дробей, потом что равные дроби естественно объединять в один объект. А потом вводится понятие класса эквивалентности. Логично было бы после этого торжественно заявить, что множество рациональных чисел является множеством классов эквивалентности, но я не нашёл упоминания рациональных чисел после того, как дано определение класса эквивалентности.