оценить $$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$

[asdenok]

Нужно оценить асимптотически

$$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$

, где p - простые, т.е. сумма по простым до n.

Применяю интегральное преобразование Абеля (Формула суммирования Абеля). пусть $g(n)=1$, если n-простое и $g(n)=0$ если n не простое.

$$\sum_{n\leqslant x} g(n) \frac {\ln(x-1)}{x} - \int_{1}^x\left(\sum_{n\leqslant t} g(n)\right) \cdot \left(\frac{\ln(t-1)}{t}\right)'dt$$

Сумма будет равна $\pi(x) \cdot \frac{x-1}{x}$, а интеграл разобьется на разность интегралов:

$$\int_{1}^x\pi(t) \cdot \frac{t}{t^3-t^2}dt-\int_{1}^x\pi(t) \cdot \frac{\ln(t-1)}{t^2}dt$$

.
Подскажите что с этим можно сделать, пожалуйста. Смущает $\pi(t)$ под интегралом

[Lia]

asdenok
Смените название темы на содержательное.

[ex-math]

Вам именно через $\pi(x)$ надо сделать? Гораздо проще, чем асимптотический закон, получается формула

$$ \sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p}=\ln x+O(1). $$

Нужно посмотреть на каноническое разложение факториала и формулу Стирлинга. Есть у Виноградова в "Основах теории чисел". Ну а ваша формула ничем почти не отличается, просто надо заменить $\ln(p-1)$ на $\ln p$ и оценить получающуюся ошибку.

[asdenok]

ex-math
желательно через $\pi$, понимаю что нужно заменить $\pi(x)$ на интегральный логарифм $\int_{0}^x \frac {dt}{\ln t}$, но как потом искать ошибку? Через асимптотику у меня вылезает сумма $\sum_{p\leqslant n} \frac {1}{p^2}$ которую так же не могу посчитать

-- 12.05.2015, 17:57 --

известно ли чему асимтотичемки равна сумма $\sum_{p\leqslant n} \frac {1}{p^2}$ ?

[Sonic86]

asdenok в сообщении #1013889 писал(а):

Нужно оценить асимптотически

$$\sum_{p\leqslant x} \frac{\ln(p-1)}{p}$$

$\sim\ln x$.
Вообще, для $p_n$ известна асимптотика. Подставляете ее в сумму с точностью до нужного члена, пределы заменяете на $n\leqslant\pi (x)$, получаете стандартную задачу из матана о нахождении асимптотики суммы. Для ее решению юзаются аналоги интегрирования по частям (формула Абеля) + обычное суммирование + формула Эйлера-Маклорена. В частных случаях возможны более простые способы вычисления.

asdenok в сообщении #1013940 писал(а):

известно ли чему асимтотичемки равна сумма $\sum_{p\leqslant n} \frac {1}{p^2}$ ?

$=\sum\limits_{p=2}^{\infty}\frac{1}{p^2}-\sum\limits_{p>n}\frac{1}{p^2}=\operatorname{const}-\Theta\left(\frac{1}{n\ln n}\right)$. Для расчета константы суммирования нужно использовать другие способы (см. A085548). У второй суммы порядок точности можно увеличить.

[ex-math]

То есть Вы не ищете легких путей. Можете четко сформулировать задачу? Зачем именно через $\pi $, с какой точностью нужна асимптотика, для чего?

-- 12.05.2015, 22:24 --

По поводу суммы обратных квадратов, это $O (1) $.