Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?

[Legioner93]

Munin в сообщении #1013221 писал(а):

bump function

Это вы про ту финитную, что экспонента-с-минус-обратным-квадратом?

[Munin]

Да-да, про неё. Bump function, у Oleg Zubelevich она $\phi(x).$

[Ms-dos4]

В случае стационарного состояния дискретного спектра $\[{\left| \Psi \right|^2} \to 0\]$ на бесконечности. Это следует хотя бы из того, что движение формально говоря "финитно", и на бесконечности волновая функция обязана экспоненциально затухать, тут я не понимаю претензий ко мне.
А именно с эрмитовостью это не связано. Её можно получить и если функция не стремится к нулю (как в случае непрерывного спектра). Просто рассмотрите систему в большом ящике с наложением условия $\[\psi (\frac{l}{2}) = {e^{i\varphi }}\psi ( - \frac{l}{2})\]$

[Red_Herring]

Обязана ли функция из $L^2$ стремиться к $0$ на бесконечности? — А что это значит?

Если мы говорим о поточечном стремлении, то нет, более того, она не обязана быть ограниченной. Если мы имеем в виду, что $\int _{|x|\ge R} |\Psi|^2 \,dv\to 0$ при $R\to \infty$, то да. Здесь, впрочем, все имеют в виду поточечное стремление, т.е.

\begin{equation}\sup _{|x|\ge R}|\Psi(x)|\to 0\qquad \text{при } R\to \infty \end{equation}

(и я упомянул о различных точках зрения просто для полноты).

(Оффтоп)

Кстати, как может расти на бесконечности ф-я из $\mathscr{S}'$? Да как угодно быстро. Возьмем $e^{ie^{x^2}}$ которая очевидно принадлежит $\mathrsfs{S}'$ и продифференцируем.

Вот если мы потребуем дополнительно чтобы $\nabla \Psi$ также принадлежала $L^2$ то в размерности $1$ (1) будет выполнено (но не в размерности 3, там надо больше, например $\nabla^2 \Psi\in L^2$.

Но у нас же $\Psi$ с.ф. оператора Шрёдингера. Ну и что? При "диком" потенциале $V$ м.б. все что угодно. Но при "диком" потенциале и оператор Шреёдингера, наивно определенный (например, на $C^\infty_0$), не обязан быть существенно самосопряженным. Это вопрос сильно нетривиальный, и общим учебником функционального анализа не отделаешься.

[Legioner93]

Red_Herring
Тут вот Munin сказал, что я в $L_2$ разбираюсь, так что боюсь спрашивать, но всё же выскажусь

У самого первого примера (моего) производная равна нулю почти всюду. И значит она из $L_2$.

Это к этому

Red_Herring в сообщении #1013228 писал(а):

Вот если мы потребуем дополнительно чтобы $\nabla \Psi$ также принадлежала $L^2$ то в размерности $1$ (1) будет выполнено (но не в размерности 3, там надо больше, например $\nabla^2 \Psi\in L^2$.

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #1013225 писал(а):

В случае стационарного состояния дискретного спектра $\[{\left| \Psi \right|^2} \to 0\]$ на бесконечности.

Вот, начались оговорки. И для начала, хотелось бы оговорить потенциал. Потому что слова "дискретный спектр" о нём говорят что-то, но не слишком много.

И это - не ответ на вопрос ТС. И это - погружение в тонкости, параллельные вопросу ТС.

[Red_Herring]

Legioner93 в сообщении #1013236 писал(а):

У самого первого примера (моего) производная равна нулю почти всюду. И значит она из $L_2$.

Вы неправильную производную берете: нужно брать обобщенную, и тогда там $\delta$ вылезет.

[Legioner93]

Red_Herring
Мы точно про классическое $L_2$ говорим? Вообще безо всякой КМ.
Там же нету дельты.

[Red_Herring]

Если Вы хотите использовать теоремы вложения—производные д.б. обобщенными, а не "почти всюду".

[Legioner93]

Red_Herring
С такими теоремами не знаком. И использовать их я пока не собирался. Ваш пост понял так:

Red_Herring в сообщении #1013228 писал(а):

Обязана ли функция из $L^2$ стремиться к $0$ на бесконечности? — А что это значит?
...
Вот если мы потребуем дополнительно чтобы $\nabla \Psi$ также принадлежала $L^2$ то в размерности $1$ (это) будет выполнено

Безо всяких доп. умолчаний.

[Red_Herring]

Legioner93 в сообщении #1013249 писал(а):

С такими теоремами не знаком. И использовать их я пока не собирался.

Тогда к серьезному разговору о с.ф. Вы неготовы.

[Legioner93]

Red_Herring
А с чего вы взяли, что я собирался говорить с вами о с.ф.?

Вы такие вещи явно оговаривайте. Потому что, как видите, для произвольного вектора из $L_2$ ваше утверждение ложно. А у вас, оказывается, какие-то гамильтонианы подразумевались...

Я на всякий случай скажу, что пси-функции бывают не только $<x|E>$, которые вы наверное имели в виду.

[Munin]

Legioner93 в сообщении #1013249 писал(а):

С такими теоремами не знаком. И использовать их я пока не собирался.

Достаточно того, чтобы хотеть использовать вот это:

Red_Herring в сообщении #1013228 писал(а):

чтобы $\nabla \Psi$ также принадлежала $L^2$... в размерности 3, там надо больше, например $\nabla^2 \Psi\in L^2$.

[Legioner93]

Munin
Ок. Буду знать, что хотеть такой факт можно лишь зная теоремы о вложении. Больше хотеть не буду.

[Munin]

Но для физики, собственно, нафиг не нужно, чтобы производные от $\Psi$ лежали в $L^2.$ Потому что квадрат модуля $\Psi$ имеет физический смысл вероятности, а квадраты модуля производных - никакого подобного смысла не имеют. ($i(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*)$ имеет смысл плотности потока вероятности, но как легко сообразить, на него не накладывается интегрального условия нормировки.)

Так что, Red_Herring предъявляет больше требований, чем нужно. Можно спокойно и в оговорённом классе

Freude в сообщении #1013187 писал(а):

Волновая функция должна быть решением уравнения Шредингера (диф. уравнение второго порядка) и ее квадрат модуля должен иметь смысл распределения вероятности (так решили физики). Из первого следует требование дифференцируемости, а из второго, согласно аксиомам Колмогорова, равенство нормы единице.

жить-поживать и добрана жевать.

-- 10.05.2015 19:57:47 --

Legioner93 в сообщении #1013273 писал(а):

Ок. Буду знать, что хотеть такой факт можно лишь зная теоремы о вложении. Больше хотеть не буду.

Вы не кипятитесь. Просто высокоучёные люди типа Red_Herring называют заумными и незнакомыми вам словами - довольно простые и понятные вам факты. Или обобщения этих фактов, изложенные более строгим и точным языком (который позволяет делать больше штук, чем вы на вашем уровне). Но по сути - тут разница только в языке, а не в завышенных к вам требованиях.