А при каких

он самосопряжён?
Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон, "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", глава 1 -- это если нужен достаточно полный ответ.
Более по-простому --

вещественный, положительная часть может быть какая угодно, отрицательная должна быть не слишком отрицательной. Например, при размерности

достаточно чего-то типа

.
-- Вс, 10 май 2015 12:25:13 --Или Рид-Саймон, том 2, глава X.
-- Вс, 10 май 2015 12:33:33 --Действительно, ТС не говорил ни о каких с.ф.—это уже другие, под соусом "стационарные состояния". Ну и тогда

ф-я не обязана ни убывать, ни быть ограниченной.
Вроде речь шла о волновой функции, но я, действительно, не очень понимаю, что имеется в виду под волновой функцией. Т. е. понятно, что это решение уравнения Шрёдингера, но решением можно считать довольно разные вещи. Например, если гамильтониан самосопряжён, то

-- унитарный оператор в

, поэтому, записав уравнение Шрёдингера в виде

, мы можем решать его с любой правой частью из

и называть результат волновой функцией.