Обязана ли функция из

стремиться к

на бесконечности? — А что это значит?
Если мы говорим о поточечном стремлении, то нет, более того, она не обязана быть ограниченной. Если мы имеем в виду, что

при

, то да. Здесь, впрочем, все имеют в виду поточечное стремление, т.е.
(и я упомянул о различных точках зрения просто для полноты).
(Оффтоп)
Кстати, как может расти на бесконечности ф-я из

? Да как угодно быстро. Возьмем

которая очевидно принадлежит

и продифференцируем.
Вот если мы потребуем дополнительно чтобы
также принадлежала

то в размерности

(1) будет выполнено (но не в размерности 3, там надо больше, например

.
Но у нас же

с.ф. оператора Шрёдингера. Ну и что? При "диком" потенциале

м.б. все что угодно. Но при "диком" потенциале и оператор Шреёдингера, наивно определенный (например, на

), не обязан быть существенно самосопряженным. Это вопрос сильно нетривиальный, и общим учебником функционального анализа не отделаешься.