Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?

[Freude]

Legioner93 в сообщении #1013193 писал(а):

Она не из L2 будет

А это разве не подразумевает стремление к нулю на бесконечности?

-- Вс май 10, 2015 16:25:12 --

Legioner93 в сообщении #1013197 писал(а):

Вам нарисовать?

да, был бы признателен за ликбез

[Munin]

Legioner93 в сообщении #1013141 писал(а):

Рассматривая квантовую механику над $L_2 (\mathbb R)$, накладывают дополнительно т.н. условия регулярности.
Зачем нужно $\to 0$ на бесконечности, можно ли без этого обойтись?

По сути, $\to 0$ на бесконечности - это пересказ $L_2 (\mathbb R)$ для математически неграмотных физиков.

Пример. Пусть функция состоит из П-образных кусков, которые имеют одинаковую высоту (скажем, 1), но по мере роста $x$ встречаются всё реже, и сами по себе более короткие. Длину и частоту таких кусков можно выбрать так, чтобы функция $\in L_2 (\mathbb R),$ но стремления к нулю не будет.

[Legioner93]

Говорят есть замечательная книжка "контпримеры в анализе"... Не читал к сожалению, но если уже два ЗУ считают, что любая интегрируемая функция обязательна мала на бесконечности, то это должно быть распространённое заблуждение; и в книжке наверное есть поучительный пример. А если нет, то нужно срочно добавить

[Munin]

Legioner93 в сообщении #1013174 писал(а):

Как насчёт такой функции: $f(x) = 1$ при $x \in (n, n + 2^{-n})$, и $f(x) = 0$ в остальных точках ($n$ натуральное). Не будет ли она единичной нормы?

А, ну вы тот же пример и написали, причём даже конкретнее.

-- 10.05.2015 16:29:36 --

Legioner93 в сообщении #1013200 писал(а):

Не читал к сожалению, но если уже два ЗУ считают, что любая интегрируемая функция обязательна мала на бесконечности, то это должно быть распространённое заблуждение

Я ж говорю, физикам и технарям так объясняют. По крайней мере, до начала курса функционального анализа.

[Freude]

Legioner93 в сообщении #1013200 писал(а):

Говорят есть замечательная книжка "контпримеры в анализе"... Не читал к сожалению, но если уже два ЗУ считают, что любая интегрируемая функция обязательна мала на бесконечности, то это должно быть распространённое заблуждение; и в книжке наверное есть поучительный пример. А если нет, то нужно срочно добавить

Может это поможет http://mathworld.wolfram.com/L2-Space.html ?

[Legioner93]

Munin
Что думаете про эрмитовость/самосопряженность импульса? Не здесь ли собака

[Munin]

Freude в сообщении #1013192 писал(а):

А если волновая функция будет константой на бесконечности, разве ноль не получается?

Фишка в том, что она не обязана быть константой на бесконечности.

-- 10.05.2015 16:31:54 --

Legioner93 в сообщении #1013203 писал(а):

Что думаете про эрмитовость/самосопряженность импульса? Не здесь ли собака

Нет, это более сложные материи. Тут всего-то надо представлять себе $L_2 (\mathbb R)$ более-менее.

-- 10.05.2015 16:33:25 --

Freude в сообщении #1013202 писал(а):

Может это поможет http://mathworld.wolfram.com/L2-Space.html ?

Зачем? ТС в $L_2 (\mathbb R)$ достаточно разбирается. Просто случилось так, что Ms-dos4 недоразобрался.

[Legioner93]

Munin
Согласен, что эрмитовость импульса не при чем.

Получается, что процитированный абзац из википедии только дезинформирует, точнее последнее предложение. Удалю.

-- Вс май 10, 2015 16:48:45 --

Хотя там выборочной правкой не обойтись

[Freude]

Возможно я ошибаюсь, но оба примера не согласуются с условием дифференцируемости. Есть ли пример всюду дифференцируемой функции из L2, которая при этом не стремится к нулю на бесконечности?

[Oleg Zubelevich]

ну cгладьте эти ступеньки будет вам дифференцируемость

[Legioner93]

Freude
Попробуйте доказать, что его нет.

-- Вс май 10, 2015 16:58:37 --

Каких только функций нет в этом мире...

Сразу представляется и бесконечно-дифференцирруемая функция такого рода.
А вот с аналитической функцией я уже пас

[Freude]

Oleg Zubelevich в сообщении #1013213 писал(а):

ну cгладьте эти ступеньки будет вам дифференцируемость

Мы получаем ноль при интегрировании "ступенек" на бесконечности из-за того, что подинтегральное выражение представляет собой произведение бесконечно малой на константу. Производные такой функции неограниченно растут на бесконечности.

[Oleg Zubelevich]

пусть $\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad \phi(x)\ge 0,\quad \phi(0)=1,\quad \mathrm{supp}\,\phi\in (-1,1)$

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\phi(2^n(x-2n))\in L^2(\mathbb{R})\bigcap C^\infty(\mathbb{R})$$

и $f(x)$ не стремится к нулю при $x\to \infty$

[Legioner93]

Freude в сообщении #1013217 писал(а):

Производные такой функции неограниченно растут на бесконечности.

Правильно. А недифференцируемость-то где? На бесконечности? Такой точки нет.

[Munin]

Legioner93 в сообщении #1013210 писал(а):

Получается, что процитированный абзац из википедии только дезинформирует, точнее последнее предложение. Удалю.
Хотя там выборочной правкой не обойтись

Править Википедию - это бороться с мельницами. Проще махнуть рукой. Читайте материал по учебникам, а Вики используйте только как быстрое введение с низким процентом надёжности информации.

Freude в сообщении #1013212 писал(а):

Возможно я ошибаюсь, но оба примера не согласуются с условием дифференцируемости.

Вообще говоря, дифференцируемость там и не обязательна: ДУЧП можно решать и для разрывных функций (и гранусловий). Но Legioner93 и Oleg Zubelevich вам правильно говорят: сгладить описываемую функцию можно очень легко, например, свернув с бесконечно-дифференцируемой bump function (всё забываю, как она по-русски), в том числе сколь угодно узкой.

-- 10.05.2015 17:10:21 --

Freude в сообщении #1013217 писал(а):

Производные такой функции неограниченно растут на бесконечности.

Вообще-то нет, могут быть ограниченными. Но на производные не наложено вообще никакого условия.