Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?

[Legioner93]

Сабж.
Рассматривая квантовую механику над $L_2 (\mathbb R)$, накладывают дополнительно т.н. условия регулярности.
Зачем нужно $\to 0$ на бесконечности, можно ли без этого обойтись?

У меня есть предположение, что это для того, чтобы оператор импульса был эрмитов.

-- Вс май 10, 2015 13:26:55 --

В википедии другое написано:

Цитата:

Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл ~(1) станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.

[Ms-dos4]

Если вы рассматриваете функции $\[{L_2}\]$, то очевидно, что они должны достаточно быстро убывать на бесконечности.
Вообще же это зависит от системы. Если у вас состояние стационарное дискретного спектра, то $\[\int {{{\left| \Psi \right|}^2}dV} \]$ сходится всегда, значит $\[{\left| \Psi \right|^2} \to 0\]$ и лежит в $\[{L_2}\]$. Если спектр непрерывен, то $\[\int {{{\left| \Psi \right|}^2}dV} \]$ расходится. Но тут можно например нормировать её на ящик, тогда эти два класса можно рассматривать вместе.

[Legioner93]

Ms-dos4 в сообщении #1013167 писал(а):

Если вы рассматриваете функции $\[{L_2}\]$, то очевидно, что они должны достаточно быстро убывать на бесконечности.

Как насчёт такой функции: $f(x) = 1$ при $x \in (n, n + 2^{-n})$, и $f(x) = 0$ в остальных точках ($n$ натуральное). Не будет ли она единичной нормы?

-- Вс май 10, 2015 15:42:01 --

Можно непрерывно сшить, если надо.

[Ms-dos4]

Её можно сшить так, чтобы она была непрерывна и всюду дифференцируема?

[Oleg Zubelevich]

Ms-dos4 в сообщении #1013167 писал(а):

Если у вас состояние стационарное дискретного спектра, то $\[\int {{{\left| \Psi \right|}^2}dV} \]$ сходится всегда, значит $\[{\left| \Psi \right|^2} \to 0\]$ и лежит в $\[{L_2}\]$.

не значит

[Legioner93]

Ms-dos4
Кто ж запрещает

[Ms-dos4]

Oleg Zubelevich
Я не дописал слова "на бесконечности" $\[{\left| \Psi \right|^2} \to 0\]$
Legioner93
И каким образом? Я что то не представляю себе, что она представляет в физическом смысле.

[Legioner93]

Всё-таки думаю, что дело в эрмитовости.

$(-i\psi ', \varphi) - (\psi, -i \varphi ') = i (\psi(+\infty)\varphi(+\infty) - \psi(-\infty)\varphi(-\infty))$

И теперь мы такие хотим, чтобы справа был ноль... Чтобы получить все радости эрмитового (а уж тем более самосопряжённого) оператора. А уж такая вещь, как импульс, обязана эти радости иметь. И поэтому мы отбрасываем все неподходящие в.ф., говоря что они "нефизичны" или что-нибудь в этом духе. Такая что ли логика?
Но я не нашёл, чтобы кто-то так писал.

[Freude]

Волновая функция должна быть решением уравнения Шредингера (диф. уравнение второго порядка) и ее квадрат модуля должен иметь смысл распределения вероятности (так решили физики). Из первого следует требование дифференцируемости, а из второго, согласно аксиомам Колмогорова, равенство нормы единице.

[Legioner93]

Ms-dos4 в сообщении #1013185 писал(а):

И каким образом? Я что то не представляю себе, что она представляет в физическом смысле.

Вы от меня явную формулу хотите? А без неё не очевидно? Развиньте чуть-чуть разрывы, да и соедините чем-нибудь гладким.

Насчёт смысла я не знаю, за этим и полез в ПРРФ. Узнать мотивировку такого регулярного условия.

[Oleg Zubelevich]

Ms-dos4 в сообщении #1013185 писал(а):

Я не дописал слова "на бесконечности" $\[{\left| \Psi \right|^2} \to 0\]$

а я так и понял, что на бесконечности

[Freude]

Legioner93 в сообщении #1013186 писал(а):

Всё-таки думаю, что дело в эрмитовости.

$(-i\psi ', \varphi) - (\psi, -i \varphi ') = i (\psi(+\infty)\varphi(+\infty) - \psi(-\infty)\varphi(-\infty))$

И теперь мы такие хотим, чтобы справа был ноль... Чтобы получить все радости эрмитового (а уж тем более самосопряжённого) оператора. А уж такая вещь, как импульс, обязана эти радости иметь. И поэтому мы отбрасываем все неподходящие в.ф., говоря что они "нефизичны" или что-нибудь в этом духе. Такая что ли логика?
Но я не нашёл, чтобы кто-то так писал.

А если волновая функция будет константой на бесконечности, разве ноль не получается?

[Legioner93]

Freude в сообщении #1013187 писал(а):

Волновая функция должна быть решением уравнения Шредингера (диф. уравнение второго порядка) и ее квадрат модуля должен иметь смысл распределения вероятности (так решили физики). Из первого следует требование дифференцируемости, а из второго, согласно аксиомам Колмогорова, равенство нормы единице.

Нужная функция, которая удовлетворяет всем вашим условиям, но тем не менее не мала на бесконечности, легко рисуется "свободным движением руки" (как говорил Эйлер)

-- Вс май 10, 2015 16:17:40 --

Freude в сообщении #1013192 писал(а):

Legioner93 в сообщении #1013186 писал(а):

Всё-таки думаю, что дело в эрмитовости.

$(-i\psi ', \varphi) - (\psi, -i \varphi ') = i (\psi(+\infty)\varphi(+\infty) - \psi(-\infty)\varphi(-\infty))$

И теперь мы такие хотим, чтобы справа был ноль... Чтобы получить все радости эрмитового (а уж тем более самосопряжённого) оператора. А уж такая вещь, как импульс, обязана эти радости иметь. И поэтому мы отбрасываем все неподходящие в.ф., говоря что они "нефизичны" или что-нибудь в этом духе. Такая что ли логика?
Но я не нашёл, чтобы кто-то так писал.

А если волновая функция будет константой на бесконечности, разве ноль не получается?

Она не из L2 будет

[Freude]

Legioner93 в сообщении #1013193 писал(а):

Нужная функция, которая удовлетворяет всем вашим условиям, но тем не менее не мала на бесконечности, легко рисуется "свободным движением руки" (как говорил Эйлер)

Например?

[Legioner93]

Вам нарисовать?