Dan B-Yallay писал(а):
Оно неизмеримо именно потому что мы получаем счетное количество "одинаковых" подмножеств отрезка...
"Одинаковых" --- это в смысле переводимых друг в друга сдвигом действительной прямой.
Dan B-Yallay писал(а):
Есть какие-нибудь идеи?
Я пробовал мыслить вот в каком направлении.

является векторным пространством над

. Любой базис

этого пространства (то есть такое множество

, что каждое действительное число представляется единственным образом в виде конечной линейной комбинации элементов

с коэффициентами из

) континуален.Если мы возьмём собственное подмножества базиса

с не более чем счётным дополнением до

, то его линейная оболочка

будет неизмеримой. Причина та же самая, что и в классической конструкции, используемой для построения неизмеримого множества: действительная прямая является объединением непересекающихся копий

, получаемых из этого множества сдвигами на числа, принадлежащее линейной оболочке

, причём последнее множество счётно.
Вот если бы как-нибудь удалось выделить

с более чем счётным дополнением, для которого

было бы тоже неизмеримым... Наверняка такое возможно, уж больно у нас много простора для творчества: один только базис можно выбрать

способами! Но строго обосновать всё это дело пока не получается.
P. S. Вот, кстати,
задачка близко к теме. Там рассмотрение подобных конструкций в конце-концов привело меня к довольно красивому решению. (На том форуме я зарегистрирован под псевдонимом
Коба. Понимаю, конечно, что нехорошо называть собственные решения "красивыми", это должен делать кто-нибудь другой, но что поделаешь, меня до сих пор прёт от тогдашней находки.)