2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по множествам
Сообщение02.05.2015, 15:43 


02/05/15
3
Здрасте.
Помогите решить задачу по множествам. Я просто таких никогда не делал.

Доказать, что равенства: 1)$ A \cup B = B$; 2) $A \cap B = A$; верны тогда и только тогда, когда $A \subset B$

Что тут видно. Я словами пока запишу, потому что я саму мысль как доказывать не пойму.
1. Из равенства следует, что если элемент $x$ принадлежит $B$, то он принадлежит $A$ или $B$, или обоим сразу. То есть, элемент $x$ полюбому принадлежит $B$, но может принадлежать $A$, а может и не принадлежать $A$. Что это дает? А фиг его знает.

2. Из равенства следует, что если элемент $x$ принадлежит $A$, то он принадлежит и $A$, и $B$. В лекциях сказано, что если принадлежность элемента к $M$, влечет принадлежность к $N$, то $M\subsetN$ или $N\subsetM$. Уже проще, но как выбрать правильный - непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.05.2015, 15:52 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Оформляются все формулы, включая односимвольные. Далее, каждая формула должна быть заключена в пару долларов и более никаких лишних долларов не содержать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.05.2015, 16:46 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.05.2015, 17:57 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Отталкивайтесь от того, что вам надо доказать. Возьмите произвольный элемент из $A$ и, используя 1) или 2), покажите, что он обязан тогда лежать и в $B$.
В обратную сторону (из включения - 1) и 2)) - совсем просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.05.2015, 18:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
veterinar в сообщении #1010377 писал(а):
1)$ A \cup B = B$
veterinar в сообщении #1010377 писал(а):
1. Из равенства следует, что если элемент $x$ принадлежит $B$, то он принадлежит $A$ или $B$, или обоим сразу. То есть, элемент $x$ полюбому принадлежит $B$, но может принадлежать $A$, а может и не принадлежать $A$. Что это дает? А фиг его знает.
Это потому что вы одну «сторону» этого равенства $B\subset A\cup B$ проанализировали, а другую — $A\cup B\subset B$ — проигнорировали. Между тем, $B\subset A\cup B$ выполняется и само по себе, так что ясно, что из него одного ничего получить и не возможно.

veterinar в сообщении #1010377 писал(а):
Я словами пока запишу, потому что я саму мысль как доказывать не пойму.
В данном случае можно просто написать цепь эквивалентностей, в которых вы просто применяете логику к расписанным по определению $x\in\text{что-то}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.05.2015, 19:16 


02/05/15
3
NSKuber
arseniiv
Вот слова у вас вроде знакомые, а не пойму.

NSKuber
Все равно не понятно. Ну вот первая задача. Вот возьму $x$ удовлетворяющий и левой и правой половинке. То есть, $x \in B$ и из этого следует, что $x \in A$ или $x \in B$, или и то и другое. И все.

А стоп. Вы сказали "элемент из $A$". Щас попробую.
Так, но ведь первое условие не требует, чтобы элемент находился в $A$. Ну я там не вижу такого требования. Собственно, он же спокойно может находиться в $B$ и не находиться в $A$, и при этом замечательно подпадает под равенство это. Ни фига не понимаю.

-- 02.05.2015, 20:20 --

Причем, что самое обидное, рисую диаграммки кружочками - все понятно. Наглядно. А формальное доказательство не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.05.2015, 20:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
veterinar в сообщении #1010487 писал(а):
Причем, что самое обидное, рисую диаграммки кружочками - все понятно. Наглядно. А формальное доказательство не получается.
Значит, постарайтесь получить способ из понятной диаграммы получить доказательство. (Увы, диаграммы покрывают лишь ма-аленькую часть вопросов теории множеств, так что особо это не поможет — но толк всё равно есть.)

veterinar в сообщении #1010487 писал(а):
Вот слова у вас вроде знакомые, а не пойму.
Множества равны ттт каждое из них является подмножеством другого. Одно из включений нам оказалось бесполезным (во второй задаче тоже так будет), зато другое окажется эквивалентным $A\subset B$. И именно потому окажется, что то бесполезное включение доказуемо вне зависимости от $A\subset B$. Если аккуратно расписать, станет ясно, что это банальная логика. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение03.05.2015, 06:21 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
veterinar в сообщении #1010487 писал(а):
Ну я там не вижу такого требования. Собственно, он же спокойно может находиться в $B$ и не находиться в $A$, и при этом замечательно подпадает под равенство это. Ни фига не понимаю.

Никаких требований тут нет. Вам дано, к примеру, 1), и надо доказать, что тогда $A$ лежит в $B$. Чтобы это доказать, нужно (по определению включения множеств) показать, что любой элемент из $A$ лежит также и в $B$. Утверждение 1) при этом можно и нужно использовать как истинное, так как вы доказываете $1\Rightarrow A\subset B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение03.05.2015, 11:30 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Действительно, а что такое $A \cup B = B$? Это когда $A \cup B \subseteq B$ и $A \cup B \supseteq B$. Здесь второе утверждение само по себе очевидно (впрочем и первое не вызывает никаких особых трудностей). Насколько я понимаю, arseniiv именно об этом вам и говорил. Ну смотрите.
Пусть среди множеств $A$ и $B$ имеется одно пустое. Если $A$ - пустое, то $\varnothing\cup B=B$ и $B \subseteq B$. Если $B$ - пустое, то его подмножество $A$ - тоже пустое, поэтому $\varnothing \cup \varnothing \subseteq \varnothing$.
Думаю, случай непустых множеств вы можете доказать самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение03.05.2015, 20:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не надо пустые от непустых отделять! :shock: Всё доказывается элементарной логикой от $x\in A$, $x\in B$, $x\in A\cup B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение03.05.2015, 20:53 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
arseniiv, кстати да

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group