Задача по множествам

[veterinar]

Здрасте.
Помогите решить задачу по множествам. Я просто таких никогда не делал.

Доказать, что равенства: 1)$ A \cup B = B$; 2) $A \cap B = A$; верны тогда и только тогда, когда $A \subset B$

Что тут видно. Я словами пока запишу, потому что я саму мысль как доказывать не пойму.
1. Из равенства следует, что если элемент $x$ принадлежит $B$, то он принадлежит $A$ или $B$, или обоим сразу. То есть, элемент $x$ полюбому принадлежит $B$, но может принадлежать $A$, а может и не принадлежать $A$. Что это дает? А фиг его знает.

2. Из равенства следует, что если элемент $x$ принадлежит $A$, то он принадлежит и $A$, и $B$. В лекциях сказано, что если принадлежность элемента к $M$, влечет принадлежность к $N$, то $M\subsetN$ или $N\subsetM$. Уже проще, но как выбрать правильный - непонятно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Оформляются все формулы, включая односимвольные. Далее, каждая формула должна быть заключена в пару долларов и более никаких лишних долларов не содержать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[NSKuber]

Отталкивайтесь от того, что вам надо доказать. Возьмите произвольный элемент из $A$ и, используя 1) или 2), покажите, что он обязан тогда лежать и в $B$.
В обратную сторону (из включения - 1) и 2)) - совсем просто.

[arseniiv]

veterinar в сообщении #1010377 писал(а):

1)$ A \cup B = B$

veterinar в сообщении #1010377 писал(а):

1. Из равенства следует, что если элемент $x$ принадлежит $B$, то он принадлежит $A$ или $B$, или обоим сразу. То есть, элемент $x$ полюбому принадлежит $B$, но может принадлежать $A$, а может и не принадлежать $A$. Что это дает? А фиг его знает.

Это потому что вы одну «сторону» этого равенства $B\subset A\cup B$ проанализировали, а другую — $A\cup B\subset B$ — проигнорировали. Между тем, $B\subset A\cup B$ выполняется и само по себе, так что ясно, что из него одного ничего получить и не возможно.

veterinar в сообщении #1010377 писал(а):

Я словами пока запишу, потому что я саму мысль как доказывать не пойму.

В данном случае можно просто написать цепь эквивалентностей, в которых вы просто применяете логику к расписанным по определению $x\in\text{что-то}$.

[veterinar]

NSKuber
arseniiv
Вот слова у вас вроде знакомые, а не пойму.

NSKuber
Все равно не понятно. Ну вот первая задача. Вот возьму $x$ удовлетворяющий и левой и правой половинке. То есть, $x \in B$ и из этого следует, что $x \in A$ или $x \in B$, или и то и другое. И все.

А стоп. Вы сказали "элемент из $A$". Щас попробую.
Так, но ведь первое условие не требует, чтобы элемент находился в $A$. Ну я там не вижу такого требования. Собственно, он же спокойно может находиться в $B$ и не находиться в $A$, и при этом замечательно подпадает под равенство это. Ни фига не понимаю.

-- 02.05.2015, 20:20 --

Причем, что самое обидное, рисую диаграммки кружочками - все понятно. Наглядно. А формальное доказательство не получается.

[arseniiv]

veterinar в сообщении #1010487 писал(а):

Причем, что самое обидное, рисую диаграммки кружочками - все понятно. Наглядно. А формальное доказательство не получается.

Значит, постарайтесь получить способ из понятной диаграммы получить доказательство. (Увы, диаграммы покрывают лишь ма-аленькую часть вопросов теории множеств, так что особо это не поможет — но толк всё равно есть.)

veterinar в сообщении #1010487 писал(а):

Вот слова у вас вроде знакомые, а не пойму.

Множества равны ттт каждое из них является подмножеством другого. Одно из включений нам оказалось бесполезным (во второй задаче тоже так будет), зато другое окажется эквивалентным $A\subset B$. И именно потому окажется, что то бесполезное включение доказуемо вне зависимости от $A\subset B$. Если аккуратно расписать, станет ясно, что это банальная логика.

[NSKuber]

veterinar в сообщении #1010487 писал(а):

Ну я там не вижу такого требования. Собственно, он же спокойно может находиться в $B$ и не находиться в $A$, и при этом замечательно подпадает под равенство это. Ни фига не понимаю.

Никаких требований тут нет. Вам дано, к примеру, 1), и надо доказать, что тогда $A$ лежит в $B$. Чтобы это доказать, нужно (по определению включения множеств) показать, что любой элемент из $A$ лежит также и в $B$. Утверждение 1) при этом можно и нужно использовать как истинное, так как вы доказываете $1\Rightarrow A\subset B$

[Kras]

Действительно, а что такое $A \cup B = B$? Это когда $A \cup B \subseteq B$ и $A \cup B \supseteq B$. Здесь второе утверждение само по себе очевидно (впрочем и первое не вызывает никаких особых трудностей). Насколько я понимаю, arseniiv именно об этом вам и говорил. Ну смотрите.
Пусть среди множеств $A$ и $B$ имеется одно пустое. Если $A$ - пустое, то $\varnothing\cup B=B$ и $B \subseteq B$. Если $B$ - пустое, то его подмножество $A$ - тоже пустое, поэтому $\varnothing \cup \varnothing \subseteq \varnothing$.
Думаю, случай непустых множеств вы можете доказать самостоятельно.

[arseniiv]

Не надо пустые от непустых отделять! Всё доказывается элементарной логикой от $x\in A$, $x\in B$, $x\in A\cup B$.

[Kras]

arseniiv, кстати да