Показать, что R и C[a,b] не изометричны

[IvMig]

Если пространства изометричны, то существует хотя бы 1 изометрия. Также получается, что все свойства одного пространства имеет другое пространство и наоборот. Далее, я предполагал, что изометрия все же есть. Решение я хотел найти при рассмотрении компактов. А именно, брал отрезок из $R$ (пусть $[a,b]$) и хотел проверить, что компакта из $C[a,b]$, который соответствует отрезку, нет. Но, исходя из определения изометрии, метрика сохраняется и истина для меня окутана туманом. Можете направить меня на правильный путь?

[demolishka]

Изометрия между $C[a;b]$ и $\mathbb{R}$ это прежде всего линейный функционал над $C[a;b]$. А такие функционалы имеют вполне конкретный вид.А на самом деле этого не надо знать, достаточно придумать три различных функции с единичной нормой.

[IvMig]

Цитата:

Изометрия между $C[a;b]$ и $\mathbb{R}$ это прежде всего линейный функционал над $C[a;b]$. А такие функционалы имеют вполне конкретный вид.

А где можно про это почитать? Информации очень мало про изометрию...

[demolishka]

IvMig в сообщении #1010853 писал(а):

А где можно про это почитать? Информации очень мало про изометрию...

Это довольно сложный факт. Если у Вас его не было, то не стоит пока искать. Он здесь избыточен.
На самом деле

demolishka в сообщении #1010839 писал(а):

достаточно придумать три различных функции с единичной нормой

[IvMig]

Цитата:

IvMig в сообщении #1010853 писал(а):
А где можно про это почитать? Информации очень мало про изометрию...

Это довольно сложный факт. Если у Вас его не было, то не стоит пока искать. Он здесь лишний.
На самом деле
demolishka в сообщении #1010839 писал(а):
достаточно придумать три различных функции с единичной нормой

Спасибо большое

[Oleg Zubelevich]

demolishka в сообщении #1010839 писал(а):

Изометрия между $C[a;b]$ и $\mathbb{R}$ это прежде всего линейный функционал над $C[a;b]$

Сильно. А это ничего, что у функционала ядро имеется нетривиальное?

[IvMig]

Получается следующее: полагаем, что изометрия есть, то есть существует отображение $f: R\to C[a,b]$ такое что: 1) $f$- биекция 2) отображение сохраняет метрику. Рассмотрим три функции: $x/b$, $x^2/b^2$, $x^3/b^3$. Их нормы равны единице, если нормы введены так: $\lVert f(.) \rVert = \sup_\text{[a,b]}\lvert f(x)\rvert$. По предположению, $f$- изометрия, тогда всем трем функциям ставится в соответствие число: 1. Но $f$- биекция. Пришли к противоречию. Мой ход рассуждения верен или я что-то упустил?
Я хотел, было, перейти на метрику, но неувязка была бы поиске максимума от разности 1й и 2й функций: она не равна 0.

[demolishka]

Oleg Zubelevich в сообщении #1010871 писал(а):

Сильно. А это ничего, что у функционала ядро имеется нетривиальное?

Поэтому такая изометрия не может существовать

[Oleg Zubelevich]

а почему изометрия обязательно должна быть линейной?

[demolishka]

Я почему-то под изометрией начал понимать изометрический изоморфизм. Прошу прощения.

IvMig в сообщении #1010886 писал(а):

Рассмотрим три функции: $x/b$, $x^2/b^2$, $x^3/b^3$.

При $b=0$ или $|a|>|b|$ получается не совсем что надо. Придумайте функции получше.

IvMig в сообщении #1010886 писал(а):

По предположению, $f$- изометрия, тогда всем трем функциям ставится в соответствие число: 1

Либо $1$, либо $-1$. Для этого и требуется взять три функции, чтобы две из них гарантированно перешли в какое-то одно число.

[IvMig]

demolishka в сообщении #1010892 писал(а):

При $b=0$ или $|a|>|b|$ получается не совсем что надо. Придумайте функции получше.

При $b=0$ согласен, но при $\lvert a \rvert>\lvert b\rvert$ не совсем понял. Ведь когда мы говорим об отрезке, то уже в написании $[a,b]$ все понятно: $b>a$. Или я что-то не знаю?

[demolishka]

IvMig в сообщении #1010906 писал(а):

Или я что-то не знаю?

Например $a=-2$, $b=-1$. Тогда $\|\frac{x}{b}\| = 2.$

[IvMig]

demolishka в сообщении #1010908 писал(а):

IvMig в сообщении #1010906 писал(а):

Или я что-то не знаю?

Например $a=-2$, $b=-1$. Тогда $\|\frac{x}{b}\| = 2.$

Я понял. Тогда вместо $b$ на $\max(\lvert a\rvert,\lvert b\rvert)$ надо делить.

[arseniiv]

Да взять просто две линейные, образ $\{a,b\}$ при которых будет $\{0,1\}$, и одну константку $1$, а то какие-то квадраты и кубы, для которых надо проверять всё тщательно…