Получается следующее: полагаем, что изометрия есть, то есть существует отображение
![$f: R\to C[a,b]$ $f: R\to C[a,b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/f/1bff60aaf2804de205d25c44a6ce61ae82.png)
такое что: 1)

- биекция 2) отображение сохраняет метрику. Рассмотрим три функции:

,

,

. Их нормы равны единице, если нормы введены так:
![$\lVert f(.) \rVert = \sup_\text{[a,b]}\lvert f(x)\rvert$ $\lVert f(.) \rVert = \sup_\text{[a,b]}\lvert f(x)\rvert$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/a/70ae77d73a7adf2b10b4a0fa1c089fcd82.png)
. По предположению,

- изометрия, тогда всем трем функциям ставится в соответствие число: 1. Но

- биекция. Пришли к противоречию. Мой ход рассуждения верен или я что-то упустил?
Я хотел, было, перейти на метрику, но неувязка была бы поиске максимума от разности 1й и 2й функций: она не равна 0.