2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 00:11 


25/12/14
78
ewert
Еще такой вопрос. Допустим есть уравнение с тремя корнями на каком-то промежутке. Для уточнения каждого из этих корней скорее всего придется использовать разные пси?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 00:42 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
integer в сообщении #1010598 писал(а):
Допустим есть уравнение с тремя корнями на каком-то промежутке.

А допустим не с восемью -- а с восемьюжды восемью.

Каков вопрос -- таков и ответ. На абстрактный вопрос и ответить нельзя более чем абстратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 12:03 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
ewert в сообщении #1010568 писал(а):
dsge в сообщении #1010529
писал(а):
Является обязательным в некоторой окрестности неподвижной точки;
Не является.

Является. Если правильно понимать, что подразумевается под "некоторой окрестностью".

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 13:15 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
dsge в сообщении #1010675 писал(а):
Является. Если правильно понимать, что подразумевается под "некоторой окрестностью".

В сколь угодно малой окрестности функция имеет право плясать сколь угодно быстро, причём в какую угодно сторону. Это никак не помешает сходимости, если только выполнены соответствующие ограничения на значения самой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 14:08 


25/12/14
78
Как доказать, что метод будет сходится, если
$\varphi (x)=x-\frac { f(x) }{ k } $
$|k|\ge \frac { Q }{ 2 } $
$k$ того же знака, что и $f\prime \left( x \right) $
$Q=\max|f\prime \left( x \right) |$ ?

-- 03.05.2015, 14:24 --

Нужно взять производную $\varphi \prime (x)$ и показать, что модуль производной будет меньше единицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 14:34 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
ewert в сообщении #1010688 писал(а):
В сколь угодно малой окрестности функция имеет право плясать сколь угодно быстро

Да. При извращениях типа $x\sin(\frac{1}{x})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 14:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
integer в сообщении #1010702 писал(а):
Нужно взять производную $\varphi \prime (x)$ и показать, что модуль производной будет меньше единицы?

Да, причём с запасом (!).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 16:53 


25/12/14
78
Как можно доказать, что метод сходится, если не выполняется условие $|\dot\varphi(x)|<1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
795
матмех спбгу
integer в сообщении #1010774 писал(а):
Как можно доказать, что метод сходится, если не выполняется условие $|\dot\varphi(x)|<1$ ?

Всё зависит от вашего конкретного случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13288
с Территории
Без привлечения дополнительной информации - никак, потому что это может быть, а может и не быть правдой. Если Вы кирпич положили на кнопку "Sin" и обедать пошли, то тут надо смотреть на третью производную, а иначе возможны какие угодно другие варианты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение03.05.2015, 19:47 
Аватара пользователя


15/02/15

69
ростов-на-дону
integer в сообщении #1010524 писал(а):
Условие $|\dot { \varphi  } (x)|<1$ является обязательным для сходимости метода простой итерации?
Заметил, что в одном примере это условие не выполняется, но метод сходится.

Стоит ли разбираться с этим вопросом? Такие итерации из прошлого. На эти методы можно смотреть лишь как на прошедший этап в истории численных методов. Там сложно уследить за величиной нормы на каждом шаге, ведь можно близко подобраться к решению, а на пути окажется перегиб или какая вогнутость-выпуклость. Очень сильная зависимость от начальной точки, больше похожая на лотерею...
Производные для целей итерации уже не применяются в современных методах. ( Первые производные ещё нормально работают при сравнительно не очень “высоких” требованиях к точности, например, при локализации решения. И то это производные не какой-нибудь одной выбранной координаты по другим координатам, а всех координат по общему параметру.) Для поиска решения и для его дальнейшего уточнения используются непосредственно значения функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group