2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 20:45 


25/12/14
78
Условие $|\dot { \varphi  } (x)|<1$ является обязательным для сходимости метода простой итерации?
Заметил, что в одном примере это условие не выполняется, но метод сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13262
с Территории
Это доказали не боги, а обычные люди с помощью обычных рассуждений. Проследив за этими рассуждениями, Вы можете установить, что будет при $|\dot { \varphi } (x)|=\text{или даже}>1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 21:09 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Является обязательным в некоторой окрестности неподвижной точки; не является обязательным, чтобы итерации попали в эту окрестность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 21:10 


25/12/14
78
ИСН
Если бы получилось установить, то не просил бы здесь помощи.
Я вообще не до конца понимаю этот метод.
$f(x)=0$
Как эта формула уточняет корни?
${ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\psi ({ x }_{ n })f({ x }_{ n })$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 21:53 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Если речь идёт не про неподвижные точки, тогда что это такое - $|\dot { \varphi  } (x)|<1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13262
с Территории
Уточняет корни она путём того, что если её применять раз за разом, они становятся всё точнее и точнее. Бывает это не всегда, а при некоторых условиях. Условие (одно из) Вы записали в первом же посте, только почему-то другими буквами и вообще от другого метода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 22:32 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
ИСН в сообщении #1010527 писал(а):
Это доказали не боги, а обычные люди с помощью обычных рассуждений. Проследив за этими рассуждениями, Вы можете установить, что будет при $|\dot { \varphi } (x)|=\text{или даже}>1$

А что насчёт равенства в искомой точке? (В выколотой окрестности пусть будет строгое неравенство).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 22:32 


25/12/14
78
ИСН в сообщении #1010557 писал(а):
только почему-то другими буквами и вообще от другого метода.

В книжке так написано было.

В каких хороших книжках можно почитать про методы уточнения корней нелинейных уравнений?
Интересует именно выбор $\psi ({ x })$, чтобы можно было уточнить корни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 22:37 


26/07/13
19
Беларусь, Брест
integer в сообщении #1010524 писал(а):
Условие $|\dot { \varphi  } (x)|<1$ является обязательным для сходимости метода простой итерации?
Заметил, что в одном примере это условие не выполняется, но метод сходится.


Это условие является достаточным. Если $\varphi'(x)<1$ в некоторой окрестности, то отображение является сжимающим в этой окрестности. Обратное, вообще говоря, не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 22:39 
Заслуженный участник


11/05/08
31745
dsge в сообщении #1010529 писал(а):
Является обязательным в некоторой окрестности неподвижной точки;

Не является.

-- Сб май 02, 2015 23:40:24 --

lllusion в сообщении #1010566 писал(а):
Если $\varphi'(x)<1$ в некоторой окрестности, то отображение является сжимающим в этой окрестности.

Не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13262
с Территории
integer в сообщении #1010563 писал(а):
В книжке так написано было.

Про какой метод в книжке было написано $|\dot\varphi(x)|<1$ и чьи корни мы тут ищем?
Про какой метод в книжке было написано $x_{n+1}=x_n-\psi (x_n)f(x_n)$ и чьи корни мы тут ищем?
Это один и тот же метод, или два разных? Если разных, то при чём они? Если один и тот же, то как соотносятся буквы из одной формулы с буквами из другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 23:03 


25/12/14
78
Метод простой итерации уточнения корней нелинейного уравнения.
Нужно решить уравнение
$f(x)=0$.
Если умножить обе части уравнения на некоторую функцию $\psi (x)\neq 0$ получим
$-\psi (x)f(x)=0$.
Прибавляя к обеим частям последнего уравнения $x$ получаем
$x=\varphi (x)$,
где $\varphi (x) =x-\psi (x)f(x)$.
Тогда алгоритм метода простой итерации
$x_{ n+1 }=\varphi (x_{ n }),\quad n=1,2,...,$.
Метод простой итерации сходится, если $|\dot\varphi(x)|<1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 23:09 
Заслуженный участник


11/05/08
31745
integer в сообщении #1010576 писал(а):
Метод простой итерации сходится, если $|\dot\varphi(x)|<1$.

Это правда (если окрестность воистину выколота, конечно; иначе тем более правда, но формулировка уже извращенческая). Однако "если, то сходится" и "сходится, только если" -- это две большие разницы

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 23:18 


25/12/14
78
ewert
Условие $|\dot\varphi(x)|<1$ не обязательно должно выполняться, чтобы метод сходился?

-- 02.05.2015, 23:28 --

У меня есть функция $f(x)=x^ 4-5x+1$. Нужно уточнить корни уравнения $f(x)=0$ с помощью метода простой итерации. Я знаю, что есть два корня на отрезке $(0,2)$. Один корень приблизительно равен 1.6, а другой 0.3.
Как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод простой итерации
Сообщение02.05.2015, 23:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31745
integer в сообщении #1010584 писал(а):
Условие $|\dot\varphi(x)|<1$ не обязательно должно выполняться, чтобы метод сходился?

Конечно. Это -- лишь простейшее достаточное условие.

Хотя в "естественных" случаях сходимости (когда нет противоестественных осцилляций производных) оно, конечно, выполняется. Я так и не понял, что конкретно Вас смутило.

-- Вс май 03, 2015 00:42:03 --

integer в сообщении #1010584 писал(а):
Как это сделать?

Ну молча, по шаблону. Никакой экзотики в этом случае, естественно, не возникнет. Поскольку преподы наверняка подсунули вам разумные начальные приближения (а иначе уж и не знаю, как их назвать -- не приближения, а преподов, конечно).

Хотя я так и не понял, как вам рекомендовалось выбирать пси. Систематического способа для этого не существует, естественно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group