Метод простой итерации

[integer]

ewert
Еще такой вопрос. Допустим есть уравнение с тремя корнями на каком-то промежутке. Для уточнения каждого из этих корней скорее всего придется использовать разные пси?

[ewert]

integer в сообщении #1010598 писал(а):

Допустим есть уравнение с тремя корнями на каком-то промежутке.

А допустим не с восемью -- а с восемьюжды восемью.

Каков вопрос -- таков и ответ. На абстрактный вопрос и ответить нельзя более чем абстратно.

[dsge]

ewert в сообщении #1010568 писал(а):

dsge в сообщении #1010529
писал(а):
Является обязательным в некоторой окрестности неподвижной точки;
Не является.

Является. Если правильно понимать, что подразумевается под "некоторой окрестностью".

[ewert]

dsge в сообщении #1010675 писал(а):

Является. Если правильно понимать, что подразумевается под "некоторой окрестностью".

В сколь угодно малой окрестности функция имеет право плясать сколь угодно быстро, причём в какую угодно сторону. Это никак не помешает сходимости, если только выполнены соответствующие ограничения на значения самой функции.

[integer]

Как доказать, что метод будет сходится, если
$\varphi (x)=x-\frac { f(x) }{ k } $
$|k|\ge \frac { Q }{ 2 } $
$k$ того же знака, что и $f\prime \left( x \right) $
$Q=\max|f\prime \left( x \right) |$ ?

-- 03.05.2015, 14:24 --

Нужно взять производную $\varphi \prime (x)$ и показать, что модуль производной будет меньше единицы?

[dsge]

ewert в сообщении #1010688 писал(а):

В сколь угодно малой окрестности функция имеет право плясать сколь угодно быстро

Да. При извращениях типа $x\sin(\frac{1}{x})$.

[ewert]

integer в сообщении #1010702 писал(а):

Нужно взять производную $\varphi \prime (x)$ и показать, что модуль производной будет меньше единицы?

Да, причём с запасом (!).

[integer]

Как можно доказать, что метод сходится, если не выполняется условие $|\dot\varphi(x)|<1$ ?

[demolishka]

integer в сообщении #1010774 писал(а):

Как можно доказать, что метод сходится, если не выполняется условие $|\dot\varphi(x)|<1$ ?

Всё зависит от вашего конкретного случая.

[ИСН]

Без привлечения дополнительной информации - никак, потому что это может быть, а может и не быть правдой. Если Вы кирпич положили на кнопку "Sin" и обедать пошли, то тут надо смотреть на третью производную, а иначе возможны какие угодно другие варианты.

[one man]

integer в сообщении #1010524 писал(а):

Условие $|\dot { \varphi } (x)|<1$ является обязательным для сходимости метода простой итерации?
Заметил, что в одном примере это условие не выполняется, но метод сходится.

Стоит ли разбираться с этим вопросом? Такие итерации из прошлого. На эти методы можно смотреть лишь как на прошедший этап в истории численных методов. Там сложно уследить за величиной нормы на каждом шаге, ведь можно близко подобраться к решению, а на пути окажется перегиб или какая вогнутость-выпуклость. Очень сильная зависимость от начальной точки, больше похожая на лотерею...
Производные для целей итерации уже не применяются в современных методах. ( Первые производные ещё нормально работают при сравнительно не очень “высоких” требованиях к точности, например, при локализации решения. И то это производные не какой-нибудь одной выбранной координаты по другим координатам, а всех координат по общему параметру.) Для поиска решения и для его дальнейшего уточнения используются непосредственно значения функции.