Метод простой итерации

[integer]

Условие $|\dot { \varphi } (x)|<1$ является обязательным для сходимости метода простой итерации?
Заметил, что в одном примере это условие не выполняется, но метод сходится.

[ИСН]

Это доказали не боги, а обычные люди с помощью обычных рассуждений. Проследив за этими рассуждениями, Вы можете установить, что будет при $|\dot { \varphi } (x)|=\text{или даже}>1$

[dsge]

Является обязательным в некоторой окрестности неподвижной точки; не является обязательным, чтобы итерации попали в эту окрестность.

[integer]

ИСН
Если бы получилось установить, то не просил бы здесь помощи.
Я вообще не до конца понимаю этот метод.
$f(x)=0$
Как эта формула уточняет корни?
${ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\psi ({ x }_{ n })f({ x }_{ n })$

[dsge]

Если речь идёт не про неподвижные точки, тогда что это такое - $|\dot { \varphi } (x)|<1$

[ИСН]

Уточняет корни она путём того, что если её применять раз за разом, они становятся всё точнее и точнее. Бывает это не всегда, а при некоторых условиях. Условие (одно из) Вы записали в первом же посте, только почему-то другими буквами и вообще от другого метода.

[мат-ламер]

ИСН в сообщении #1010527 писал(а):

Это доказали не боги, а обычные люди с помощью обычных рассуждений. Проследив за этими рассуждениями, Вы можете установить, что будет при $|\dot { \varphi } (x)|=\text{или даже}>1$

А что насчёт равенства в искомой точке? (В выколотой окрестности пусть будет строгое неравенство).

[integer]

ИСН в сообщении #1010557 писал(а):

только почему-то другими буквами и вообще от другого метода.

В книжке так написано было.

В каких хороших книжках можно почитать про методы уточнения корней нелинейных уравнений?
Интересует именно выбор $\psi ({ x })$, чтобы можно было уточнить корни.

[lllusion]

integer в сообщении #1010524 писал(а):

Условие $|\dot { \varphi } (x)|<1$ является обязательным для сходимости метода простой итерации?
Заметил, что в одном примере это условие не выполняется, но метод сходится.

Это условие является достаточным. Если $\varphi'(x)<1$ в некоторой окрестности, то отображение является сжимающим в этой окрестности. Обратное, вообще говоря, не верно.

[ewert]

dsge в сообщении #1010529 писал(а):

Является обязательным в некоторой окрестности неподвижной точки;

Не является.

-- Сб май 02, 2015 23:40:24 --

lllusion в сообщении #1010566 писал(а):

Если $\varphi'(x)<1$ в некоторой окрестности, то отображение является сжимающим в этой окрестности.

Не является.

[ИСН]

integer в сообщении #1010563 писал(а):

В книжке так написано было.

Про какой метод в книжке было написано $|\dot\varphi(x)|<1$ и чьи корни мы тут ищем?
Про какой метод в книжке было написано $x_{n+1}=x_n-\psi (x_n)f(x_n)$ и чьи корни мы тут ищем?
Это один и тот же метод, или два разных? Если разных, то при чём они? Если один и тот же, то как соотносятся буквы из одной формулы с буквами из другой?

[integer]

Метод простой итерации уточнения корней нелинейного уравнения.
Нужно решить уравнение
$f(x)=0$.
Если умножить обе части уравнения на некоторую функцию $\psi (x)\neq 0$ получим
$-\psi (x)f(x)=0$.
Прибавляя к обеим частям последнего уравнения $x$ получаем
$x=\varphi (x)$,
где $\varphi (x) =x-\psi (x)f(x)$.
Тогда алгоритм метода простой итерации
$x_{ n+1 }=\varphi (x_{ n }),\quad n=1,2,...,$.
Метод простой итерации сходится, если $|\dot\varphi(x)|<1$.

[ewert]

integer в сообщении #1010576 писал(а):

Метод простой итерации сходится, если $|\dot\varphi(x)|<1$.

Это правда (если окрестность воистину выколота, конечно; иначе тем более правда, но формулировка уже извращенческая). Однако "если, то сходится" и "сходится, только если" -- это две большие разницы

[integer]

ewert
Условие $|\dot\varphi(x)|<1$ не обязательно должно выполняться, чтобы метод сходился?

-- 02.05.2015, 23:28 --

У меня есть функция $f(x)=x^ 4-5x+1$. Нужно уточнить корни уравнения $f(x)=0$ с помощью метода простой итерации. Я знаю, что есть два корня на отрезке $(0,2)$. Один корень приблизительно равен 1.6, а другой 0.3.
Как это сделать?

[ewert]

integer в сообщении #1010584 писал(а):

Условие $|\dot\varphi(x)|<1$ не обязательно должно выполняться, чтобы метод сходился?

Конечно. Это -- лишь простейшее достаточное условие.

Хотя в "естественных" случаях сходимости (когда нет противоестественных осцилляций производных) оно, конечно, выполняется. Я так и не понял, что конкретно Вас смутило.

-- Вс май 03, 2015 00:42:03 --

integer в сообщении #1010584 писал(а):

Как это сделать?

Ну молча, по шаблону. Никакой экзотики в этом случае, естественно, не возникнет. Поскольку преподы наверняка подсунули вам разумные начальные приближения (а иначе уж и не знаю, как их назвать -- не приближения, а преподов, конечно).

Хотя я так и не понял, как вам рекомендовалось выбирать пси. Систематического способа для этого не существует, естественно.