2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойства экстремума целочисленного многочлена
Сообщение12.02.2006, 09:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Пусть многочлен с целыми коэффициентами P(x) имеет локальный минимум в точке x=sqrt(2). Докажите, что в точке x=-sqrt(2) P(x) имеет так же локальный минимум или максимум (не точка перегиба).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 20:38 


08/02/06
35
Пусть для каждого
$$ a = x + y  \sqrt{2} $$
   $$\overline{a} = x - y \sqrt2 $$
тогда легко проверить что для многочлена с целыми коефициентами
$$ P(x) = \overline{P(\overline{x})} $$
Значит,
$$ P'(-\sqrt2) = P'(\sqrt2) = 0 $$ тоесть, это локальный максимум\минимум если только не
$$ P''(-\sqrt2) = 0 $$
что невозможно так как
$$ P''(-\sqrt2) =  \overline{P''(\sqrt2)} \ne 0$$
значит, в точке $ -\sqrt2$ - экстремум ЧТД

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 21:08 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Вообще то возможно что P''(sqrt(2))=0 (вплоть до производных некоторого нечётного порядка).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Руст писал(а):
Вообще то возможно что P''(sqrt(2))=0 (вплоть до производных некоторого нечётного порядка).

Тогда пойдем с равенством $P(x)=\overline {P(\overline {x})}$ вплоть до производных нечетного порядка, что обеспечит именно локальный екстремум
====
Правда моя идея была совем другой ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group