Свойства экстремума целочисленного многочлена

[Руст]

Пусть многочлен с целыми коэффициентами P(x) имеет локальный минимум в точке x=sqrt(2). Докажите, что в точке x=-sqrt(2) P(x) имеет так же локальный минимум или максимум (не точка перегиба).

[yvanko]

Пусть для каждого

$$ a = x + y \sqrt{2} $$ $$\overline{a} = x - y \sqrt2 $$

тогда легко проверить что для многочлена с целыми коефициентами

$$ P(x) = \overline{P(\overline{x})} $$

Значит,

$$ P'(-\sqrt2) = P'(\sqrt2) = 0 $$

тоесть, это локальный максимум\минимум если только не

$$ P''(-\sqrt2) = 0 $$

что невозможно так как

$$ P''(-\sqrt2) = \overline{P''(\sqrt2)} \ne 0$$

значит, в точке $ -\sqrt2$ - экстремум ЧТД

[Руст]

Вообще то возможно что P''(sqrt(2))=0 (вплоть до производных некоторого нечётного порядка).

[Genrih]

Руст писал(а):

Вообще то возможно что P''(sqrt(2))=0 (вплоть до производных некоторого нечётного порядка).

Тогда пойдем с равенством $P(x)=\overline {P(\overline {x})}$ вплоть до производных нечетного порядка, что обеспечит именно локальный екстремум
====
Правда моя идея была совем другой ...