2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойства экстремума целочисленного многочлена
Сообщение12.02.2006, 09:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть многочлен с целыми коэффициентами P(x) имеет локальный минимум в точке x=sqrt(2). Докажите, что в точке x=-sqrt(2) P(x) имеет так же локальный минимум или максимум (не точка перегиба).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 20:38 


08/02/06
35
Пусть для каждого
$$ a = x + y  \sqrt{2} $$
   $$\overline{a} = x - y \sqrt2 $$
тогда легко проверить что для многочлена с целыми коефициентами
$$ P(x) = \overline{P(\overline{x})} $$
Значит,
$$ P'(-\sqrt2) = P'(\sqrt2) = 0 $$ тоесть, это локальный максимум\минимум если только не
$$ P''(-\sqrt2) = 0 $$
что невозможно так как
$$ P''(-\sqrt2) =  \overline{P''(\sqrt2)} \ne 0$$
значит, в точке $ -\sqrt2$ - экстремум ЧТД

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 21:08 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Вообще то возможно что P''(sqrt(2))=0 (вплоть до производных некоторого нечётного порядка).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2006, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Руст писал(а):
Вообще то возможно что P''(sqrt(2))=0 (вплоть до производных некоторого нечётного порядка).

Тогда пойдем с равенством $P(x)=\overline {P(\overline {x})}$ вплоть до производных нечетного порядка, что обеспечит именно локальный екстремум
====
Правда моя идея была совем другой ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group