Найти векторный потенциал

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1008315 писал(а):

А поле элементарного тока - это другое поле. Дипольное. Оно равно полю элементарного электрического диполя (всюду кроме начала координат, где может быть доопределено по-разному: и по-электрически, и по-магнитному, и линейной комбинацией этих вариантов).

Я неправильно выразился насчёт "элементарного" тока. Я имел в виду ток, идущий не по бесконечно короткому. а по бесконечно длинному проводу. В точках, где идёт сам провод, поле неопределено, а дивергенция нулевая.

-- Пн апр 27, 2015 00:19:48 --

Вот что пишут в математической энциклопедии

Цитата:

СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ
трубчатое поле,- векторное поле, не имеющее ни источников, ни стоков, т. е. дивергенция к-рого равна нулю во всех его точках. Поток С. п. через любую замкнутую кусочно гладкую ориентированную границу любой области равен нулю. С. и. характеризуется т. н. векторным потенциалом - функцией (М)такой, что а== rоtA(М). Примеры С. п.: поле скоростей несжимаемой жидкости, магнитное поле внутри бесконечного соленоида.
А. Б. Иванов.

И как-то мне кажется, что электрическое поле заряда имеет источник. Там дальше цитаты из других энциклопедий.

[svv]

Теперь я запутался.

Переведём задачу на язык дифференциальных форм. Надо найти такую 1-форму $\alpha$, что $d\alpha=\beta$. В правой части — известная 2-форма $\beta={}^*\mathbf B$, где $\mathbf B=\frac{\mathbf r}{r^3}$. Вот её явный вид:
в декартовых координатах $\beta=\frac{x\;dy\wedge dz+y\;dz\wedge dx+z\;dx\wedge dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$
в сферических координатах $\beta=\sin\theta\;d\theta\wedge d\varphi$

Red_Herring привёл решение для области $\mathbb R^3$ без оси $Oz$. Его векторному полю $\mathbf A$ соответствует форма $\alpha=-\cos\theta\;d\varphi$. Заметим: форма $\beta$, если можно так сказать, сферически симметрична, но форма $\alpha$ только осесимметрична. Отсюда, похоже, все беды.

На оси $Oz$ координата $\varphi$ не определена, поэтому и форма $\alpha$ тоже. Да и «циркуляция» по контуру $\theta=\operatorname{const}$, обходящему вокруг $Oz$, равна $\int\alpha=-2\pi\cos\theta$. При попытке стянуть контур к какой-нибудь точке на $Oz$ интеграл стремится не к нулю, а к $\pm 2\pi$. Так что прямую $Oz$ надо исключить из области.

Можно было повернуть систему координат относительно центра $O$ и найти аналогичное решение в ней. Тогда осью $Oz$ будет другая прямая, но её всё равно придётся выбросить.

Но ведь область $\mathbb R^3\setminus O$ односвязна, а $\beta$ в ней везде ведет себя хорошо. И, самое главное, $d\beta=0$. Разве лемма Пуанкаре не гарантирует существование в этой области нужной формы $\alpha$ без всяких выбрасываний прямых линий?

При этом я верю, что на самом деле решения в $\mathbb R^3\setminus O$ нет.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1008349 писал(а):

Я имел в виду ток, идущий не по бесконечно короткому. а по бесконечно длинному проводу.

Ну, тогда он не элементарный, а просто ток.

Впрочем, есть ещё ток, текущий по бесконечно короткому участку бесконечно длинного провода. Тут надо придумать, как замкнуть этот ток по уравнению непрерывности, потому что иначе уравнения Максвелла будут несовместны. Например, пусть этот ток вытекает из точечного уменьшающегося заряда, и втекает в точечный увеличивающийся. Ясное дело, кулоновское поле этих зарядов надо добавить к решению.

мат-ламер в сообщении #1008349 писал(а):

И как-то мне кажется, что электрическое поле заряда имеет источник.

Имеет, если его доопределять в начале координат. В физике такое часто подразумевается. Но в математике - требует аккуратности и упоминания обобщённых функций.

А вне начала координат - не имеет.

А цитировать МЭ и ФЭ - это вы молодец. Поздравляю с прогрессом. Почаще их читайте.

[Munin]

svv в сообщении #1008357 писал(а):

Заметим: форма $\beta$, если можно так сказать, сферически симметрична, но форма $\alpha$ только осесимметрична.

$\alpha$ и не должна обладать всеми симметриями $\beta.$ Её симметрия может быть ниже, потому что дифференцирование "происходит с потерями информации". Вот выше - быть не может.

svv в сообщении #1008357 писал(а):

Отсюда, похоже, все беды.

А сферически-симметричной $\alpha,$ похоже, нет, по какой-то из теорем, аналогичных "причёсыванию ежа".

svv в сообщении #1008357 писал(а):

На оси $Oz$ координата $\varphi$ не определена, поэтому и форма $\alpha$ тоже. Да и «циркуляция» по контуру $\theta=\operatorname{const}$, обходящему вокруг $Oz$, равна $\int\alpha=-2\pi\cos\theta$. При попытке стянуть контур к какой-нибудь точке на $Oz$ интеграл стремится не к нулю, а к $\pm 2\pi$. Так что прямую $Oz$ надо исключить из области.

Возьмём другую форму $\alpha'=(1-\cos\theta)\,d\varphi.$ Тогда $\int\alpha'=2\pi(1-\cos\theta),$ и контур можно стянуть сверху, но не снизу. Это отвечает форме, определённой на $\mathbb{R}^3$ без полуоси $Oz^-.$ (Это и есть монополь Дирака.)

svv в сообщении #1008357 писал(а):

Но ведь область $\mathbb R^3\setminus O$ односвязна, а $\beta$ в ней везде ведет себя хорошо. Разве лемма Пуанкаре не гарантирует существование в этой области нужной формы $\alpha$ без всяких выбрасываний прямых линий?

В русскоязычной Википедии на эту тему опять плохая формулировка. Лемма Пуанкаре (по английской Вики) требует стягиваемости, а насколько я понимаю - для каждой $p$-формы, чтобы замкнутая форма была точна, необходима и достаточна $p$-связность.

В данном случае, рассматривается 2-форма $\beta.$ Поэтому условием для её точности (чтобы существовал потенциал $\alpha$) является не односвязность (1-связность), а 2-связность области $\mathbb{R}^3\setminus\{O\}.$ А вот ею-то как раз эта область не обладает! 2-связность означает, что любая замкнутая 2-поверхность стягиваема (аналогично, односвязность означает, что любой замкнутый 1-мерный контур, то есть петля, стягиваем). Но легко заметить, что "набросив" поверхность на начало координат, мы получаем нестягиваемую поверхность.

А вот выкинув прямую или полупрямую, то есть взяв $\mathbb{R}^3\setminus Oz$ или $\mathbb{R}^3\setminus Oz^-,$ мы получаем аккурат 2-связную область (в первом случае не 1-связную, во втором случае - 1-связную). И для неё уже всё выполняется.

[svv]

Grand merci! Ответ — тютелька в тютельку то, чего душа просила.

(Оффтоп)

И Вы размышляли над моим вопросом, пока я сладко спал! Как же Вы сегодня будете работать, особенно после обеда?

[Munin]

Осталось перевести $\alpha'=(1-\cos\theta)\,d\varphi$ обратно в векторный и декартов вид - и вот это как раз мне не по силам :-)

P. S. Доказательство леммы (теоремы) Пуанкаре нашёл в
Ефимов. Введение в теорию внешних форм.
но для очень упрощённого случая: там в итоге требуется не просто даже стягиваемость, а звёздность относительно некоторой точки, в смысле звёздной области в евклидовом пространстве. ($A\in D\Rightarrow OA\subseteq D.$) Вообще, это очень начальная книжка. Также стягиваемость требуется и в
Шутц. Геометрические методы математической физики.
А вот дальше интереснее. Там же далее (§ 4.24) сказано, что утверждение леммы Пуанкаре состоит в том, что $p$-мерная группа когомологий де Рама равна нулю: $H^p(M)=0.$ Это как раз и есть утверждение "все замкнутые $p$-формы точны". Но условие этой леммы - как его сформулировать? Для когомологий - естественно это сделать в виде утверждения о соответствующей группе гомологий: $H_p(M)=0.$ Впрочем, я не знаю, верно это или не верно. Но я изначально предположил другое: утверждение о группе гомотопий $\pi_p(M)=0.$ Правда, в Википедии сказано, что "в случае линейно-связных пространств (т. е. 0-связно) эти группы изоморфны".

[мат-ламер]

Munin
Может вам поможет вот эта ссылка. Смотрите там теорему де Рама. Извиняюсь ссылку на викимусорку, которую вы не любите.

[Munin]

P. P. S. Интересно. Наткнулся на такую штуку, как двойственность Пуанкаре и естественный изоморфизм Пуанкаре $H^p(M^n)\cong H_{n-p}(M^n).$ Но это находится в явном противоречии с тем, что я написал выше: для $\mathbb{R}^3\setminus Oz$ имеем $H_{3-2}(M^3)\ne 0,$ однако 2-форму проинтегрировать можно (тьфу, найти потенциал для неё).

-- 27.04.2015 19:39:23 --

мат-ламер в сообщении #1008605 писал(а):

Может вам поможет вот эта ссылка [ https://ru.wikipedia.org/wiki/Когомологии_де_Рама ]. Смотрите там теорему де Рама. Извиняюсь ссылку на викимусорку, которую вы не любите.

Да, спасибо, это я уже смотрел. Но как я понимаю, лемма Пуанкаре и теорема Стокса всё-таки разные утверждения, хотя и близкородственные. По крайней мере, как доказать лемму Пуанкаре из теоремы Стокса, я не сообразил, хотя вчера пытался.

-- 27.04.2015 19:41:04 --

мат-ламер
Если у вас есть на примете учебник с более-менее обширным изложением теории де Рама (больше пары страниц), я был бы благодарен.

-- 27.04.2015 19:45:04 --

А, уже нашёл.
Ботт, Ту. Дифференциальные формы в алгебраической топологии.
Вся первая глава так и называется "теория де Рама".
Надеюсь только, что она не будет для меня слишком сложна...

-- 27.04.2015 19:56:20 --

Нет, всё-таки сложновата.

P. P. P. S. (${}=\text{P.}^3\text{ S.}$) Кажется, что лемма Пуанкаре, наоборот, слишком "мощна" для интересующих нас частных случаев: она пытается сразу установить $H^*(M)=0$ (то есть, для всех размерностей сразу), в то время как нас интересуют более детальные (и слабые) результаты для $H^p(M).$ Отсюда, лемма Пуанкаре всегда требует стягиваемости $M$ тоже во всех размерностях сразу.

А вот факт, который нас интересует, может не носить имя Пуанкаре. Но тогда, как его искать?..

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1008606 писал(а):

мат-ламер
Если у вас есть на примете учебник с более-менее обширным изложением теории де Рама (больше пары страниц), я был бы благодарен.

У меня на компе есть книга J.M.Lee "Differential and Physical Geometry". Глава 13. Но та глава слишком сложна для меня. Требуется иметь некоторые понятия в гомологической алгебре.

[g______d]

Munin в сообщении #1008315 писал(а):

А в начале координат выражение $\vec{r}/r^3$ попросту неопределено, и доопределить его в смысле обобщённых функций можно различными способами, и потенциальным, и соленоидальным.

Нет, эта функция локально интегрируема, поэтому доопределение в смысле обобщённых функций у ней одно, каноническое. Разве что Вы захотите непонятно по каким причинам добавить дельта-функций и их производных в нуле.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1008606 писал(а):

А вот факт, который нас интересует, может не носить имя Пуанкаре. Но тогда, как его искать?..

Не слежу за ходом обсуждения. Но в учебниках анализа доказывается для "звёздных" областей. И вы об этом писали. В более сложных книгах говорится о стягиваемости (тривиальности фундаментальной группы).

[g______d]

Munin в сообщении #1008606 писал(а):

Наткнулся на такую штуку, как двойственность Пуанкаре

Она для компактных многообразий, или нужно где-то поставить формы с компактным носителем.

-- Пн, 27 апр 2015 10:11:01 --

мат-ламер в сообщении #1008619 писал(а):

В более сложных книгах говорится о стягиваемости (тривиальности фундаментальной группы).

Стягиваемость -- это не то же самое, что односвязность.

Стягиваемость влечёт тривиальность всех гомотопических групп, а не только фундаментальной. В обратную сторону для достаточно хороших пространств тоже верно (теорема Уайтхеда), но это весьма нетривиально.

-- Пн, 27 апр 2015 10:14:58 --

Munin в сообщении #1008602 писал(а):

Для когомологий - естественно это сделать в виде утверждения о соответствующей группе гомологий: $H_p(M)=0.$ Впрочем, я не знаю, верно это или не верно.

Более-менее верно (теорема де Рама как раз об этом).

[Munin]

g______d в сообщении #1008618 писал(а):

Нет, эта функция локально интегрируема, поэтому доопределение в смысле обобщённых функций у ней одно, каноническое. Разве что Вы захотите непонятно по каким причинам добавить дельта-функций и их производных в нуле.

Боюсь, что у Дирака использовалось как раз другое.

g______d в сообщении #1008620 писал(а):

Она для компактных многообразий, или нужно где-то поставить формы с компактным носителем.

Ну, это не проблема, мы всегда можем вырезать из нашего $\mathbb{R}^n$ большой шар, охватывающий всё интересное, а все выколотые точки и линии заменить на выколотые шарики и цилиндрики конечной толщины, приписав границу многообразию. На существование потенциала, как я понимаю, это повлиять не должно.

g______d в сообщении #1008620 писал(а):

Более-менее верно (теорема де Рама как раз об этом).

Вот не понимаю!!! Как теорема де Рама об этом, когда она о теореме Стокса??? Объясните логику, или я чего-то элементарного под носом не вижу?

Буду благодарен. У меня "затык".

-- 27.04.2015 21:30:38 --

мат-ламер в сообщении #1008616 писал(а):

У меня на компе есть книга J.M.Lee "Differential and Physical Geometry". Глава 13. Но та глава слишком сложна для меня. Требуется иметь некоторые понятия в гомологической алгебре.

Спасибо. Хотя я бы предпочёл по-русски (когда из-за математики голова болит, ещё и через язык продираться - тяжело).

[g______d]

Munin в сообщении #1008648 писал(а):

Вот не понимаю!!! Как теорема де Рама об этом, когда она о теореме Стокса??? Объясните логику, или я чего-то элементарного под носом не вижу?

http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_co ... 7s_theorem

Она утверждает, что когомологии де Рама изоморфны сингулярным когомологиям. Сингулярные гомологии, симплициальные гомологии, сингулярные когомологии, сингулярные когомологии над $\mathbb R$ -- это векторные пространства одинаковой размерности; эта размерность называется числом Бетти.

-- Пн, 27 апр 2015 11:47:23 --

Munin в сообщении #1008648 писал(а):

Боюсь, что у Дирака использовалось как раз другое.

Можете точно описать (кратко), что там именно было у Дирака? Я не понимаю, начиная с полупрямой. $\mathbb R^3$ без полупрямой стягиваемо, поэтому разницы между замкнутыми и точными формами нет.

[Munin]

g______d в сообщении #1008652 писал(а):

Она утверждает, что когомологии де Рама изоморфны сингулярным когомологиям.

И?..

(Чувствую, что упускаю что-то совершенно элементарное...)

g______d в сообщении #1008652 писал(а):

Можете точно описать (кратко), что там именно было у Дирака?

Боюсь, я это только слышал когда-то давно и невнятно, и могу далеко заходить в домыслы.

Что-то типа такого: Дирак нашёл решение уравнений Максвелла (включая $\operatorname{div}\mathbf{B}=0$), имеющее вид магнитного монополя (то есть, $\mathbf{B}=\mathbf{r}/r^3$), но ему пришлось для этого выкинуть полупрямую, выходящую из центра координат. Физическая интерпретация такова: можно взять длинный бесконечно тонкий соленоид, тогда из его конца будет выходить магнитное поле, как из монополя; а потом унести другой конец соленоида на бесконечность, чтобы не мешался. Это было основанием для первых поисков монополей в физике элементарных частиц (потом появились монополи Полякова-'т Хоофта, гораздо более актуальные на сегодня).