Найти векторный потенциал

[aalexeev32]

$\operatorname{rot}\vec{A} = \frac{\operatorname{const} \vec{r}}{|\vec{r}|^3}$

Подскажите, как при заданном магнитном поле найти векторный потенциал? В лоб решать в координатах? Или есть какие-то более рациональные методы?

[Munin]

А как вы собираетесь "в лоб решать"? Вы сознаёте, что это у вас система ДУЧП?

Вообще более рациональный метод есть. http://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition

[svv]

Проблемка есть.
Возьмем сферу $S$ с центром в начале координат.
Поток векторного поля в левой части через $S$ равен нулю, так как $\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf A\equiv 0$.
Но поток векторного поля в правой части через $S$ не равен нулю, он равен $4\pi$ умножить на ту константу.

Поле-то справа потенциальное ($\operatorname{grad}\frac 1 r$), а Вы его хотите насильно считать соленоидальным.

[Munin]

Ну я лажанулся...

[svv]

(Оффтоп)

Munin, если будете так переживать по пустякам, я пойду и застрелюсь.

[Munin]

(Оффтоп)

Да ладно, где там "переживать" :-)

Будем считать, что я говорил об общем методе решения уравнений вида $\operatorname{rot}\vec{A}=\vec{F}.$ Для корректных $\vec{F},$ разумеется.

[Red_Herring]

Как правильно отметил svv есть проблемка и потому найти в.п. в $\mathbb{R}^3\setminus (0,0,0)$ невозможно.

Но вот

$$\mathbf{A}= \frac{z} {(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}} (y\mathbf{i} -x\mathbf{j})$$

решение при $x^2+y^2\ne 0$.

Поле $\mathbf{r}r^{-3}= -\nabla r^{-1}$ оно гармоническое, т.е. и соленоидальное, и потенциальное одновременно (при $r\ne 0$). Поэтому в областях с тривиальной топологией (диффеоморфных шару) его можно совать и туда, и сюда—обычно это связано с граничными условиями (т.е. с выбором пространств).

[Munin]

(Оффтоп)

Я дважды лажанулся :-)

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1007890 писал(а):

Поле $\mathbf{r}r^{-3}= -\nabla r^{-1}$ оно гармоническое, т.е. и соленоидальное,

Может бездивергентное ? Причём не всюду. Это не магнитное поле. Даже монополя.

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1007945 писал(а):

Может бездивергентное
? Причём не всюду. Это не магнитное поле. Даже монополя.

Если Вы имеете в виду, что бездивергентное это $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$, а соленоидальное это $\mathbf{A}=\nabla \times \mathbf{B}$, то в подходящих областях это одно и то же. Разумеется $\nabla \cdot (-\nabla r^{-1})= 4\pi \delta (\mathbf{r})$, но мы говорим об области $r>0$; и там оно бездивергентное, а если выдрать какую-либо прямую проходящую через начало, то оно будет вида $\nabla \times \mathbf{B}$.

Вопрос сугубо математический.

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1007957 писал(а):

Если Вы имеете в виду, что

Я имел в виду, что

Цитата:

Векторное поле называется соленоидальным или вихревым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

(Википедия, ссылка в пред. посту).

[Red_Herring]

Ну так для любой замкнутой поверхности в области с выброшенной прямой … поток равен нулю. И, кстати, английская википедия определяет соленоидальное как с дивергенцией равной нулю. И, кстати, в русском варианте было вначале именно так. А потом некий [url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Участник:George_Shuklin[/url] который нематематик решил подправить. Если посмотреть литературу (русскую), то там полный разнобой и большинство не заботится об области.

Т.ч. не придирайтесь к терминам и ссылайтесь на кого-либо более знающего чем

(Оффтоп)

Цитата:

Компьютеры, сеть, администрирование, фотография (как следствие - латентное краеведение). С аниме тесно знаком, но в Википедию стараюсь не писать из-за принципиальных разногласий о том, как надо писать и о чём.

А вот о математике пишет.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1007945 писал(а):

Это не магнитное поле. Даже монополя.

Как раз - вполне монополя. См. монополь Дирака - там была именно "выдрана прямая" (точнее, полупрямая - этого хватило).

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1007974 писал(а):

Т.ч. не придирайтесь к терминам и ссылайтесь на кого-либо более знающего чем

Я не придираюсь. Я в вопросительной форме переспросил, и , вообще, сам хотел разобраться. И что тут пишут в Википедиях, как русской, так и английской, мне не понравилось. Во-первых, понятие соленоидальности - оно глобально, или касается только тех точек, где поле задано? В русской Вики поначалу в определении область не задана. Поле просто соленоидально и всё. Английская Вики говорит о соленоидальности поля в точках, где задано поле. И тут видно, что это совершенно разные определения. Если взять электрическое поле заряда, то оно не задано в точке, где заряд. Английское определение соленоидальности сюда подходит. Русское нет, поскольку в точке где заряд дивергенция отлична от нуля. (Дивергенцию я понимаю не как сумму производных, а через предел векторного потока). Если взять магнитное поле элементарного тока, то русское определение тут тоже хорошо подходит. Здесь поле не определено на линии тока, а вот дивергенция равна нулю всюду.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1007974 писал(а):

И, кстати, в русском варианте было вначале именно так. А потом некий [url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Участник:George_Shuklin[/url] который нематематик решил подправить.

Вроде бы, не он. После [url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Участник:George_Shuklin[/url] статья имела ещё то определение, которое совпадало с английской википедией, а нынешний вид приобрела после
[url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Участник:Sergey_Alekseev[/url] (нет личной страницы) и
[url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Участник:Baz.77.243.99.32[/url] (пишет на личной странице, что он доктор наук, и входит в "Кто есть кто в российской науке").

-- 26.04.2015 21:25:07 --

Кстати, англоязычная статья тоже не идеальна:

Цитата:

The divergence theorem (link) gives the equivalent integral definition of a solenoidal field; namely that for any closed surface, the net total flux through the surface must be zero:


$${\rlap{\(\,\,\,\bigcirc\)}\iint}\mathbf{v} \cdot \, d\mathbf{S} = 0 ,$$

where $d\mathbf{S}$ is the outward normal to each surface element.

То, что область, охваченная поверхностью, должна быть 2-связной (поверхность должна быть стягиваема в нуль), не упомянуто.

-- 26.04.2015 21:35:44 --

мат-ламер
Вспомните начала матанализа. Можно говорить о дифференцируемости функции в точке, а можно - в области (скажем, на интервале действительной прямой).

Точно так же и здесь. Можно говорить о соленоидальности в точке, а можно - в области, в том числе всюду в пространстве. Поле точечного заряда - соленоидально (≡ бездивергентно) всюду, кроме начала координат, и одновременно, потенциально тоже всюду, кроме начала координат *). А (соленоидально ∧ потенциально) = гармонично.

*) А в начале координат выражение $\vec{r}/r^3$ попросту неопределено, и доопределить его в смысле обобщённых функций можно различными способами, и потенциальным, и соленоидальным. Только в одном из этих случаев, можно говорить о дивергенции в начале координат, равной величине заряда (помножить на дельта-функцию).

А поле элементарного тока - это другое поле. Дипольное. Оно равно полю элементарного электрического диполя (всюду кроме начала координат, где может быть доопределено по-разному: и по-электрически, и по-магнитному, и линейной комбинацией этих вариантов).