Водяная ракета

[artur_k]

Многим известна детская игрушка - водяная ракета http://www.youtube.com/watch?v=WKlbCRHheDI. Корпус, заполняемый частично водой и накачиваемый воздухом через клапан, удерживается замком. После отпускания замка вода под давлением вырывается из сопла, создавая реактивную тягу.

Наступает весна, становится тепло - можно с ребенком сделать такую ракету из пластиковой бутылки и позапускать. Но мы легких путей не ищем. Нам не интересно делать ракету, лишь бы взлетела. Надо сделать такую, которая взлетит на максимальную высоту.

Возьмем обычную бутылку объемом $V_0=1.5\text{ л}$. Ее пустая масса $M_0=0.05\text{ кг}$. Такая бутылка выдерживает давление $P_0=400\text{ кПа}$. Мы можем для достижения наилучшего эффекта управлять двумя параметрами - коэффициентом заполнения бутылки водой $\mu$ и сечением сопла $S$. Если заполнить бутылку водой почти полностью, то она будет очень тяжелой и давление воздуха в бутылке при расширении быстро упадет и тяга прекратится. Такая ракета, скорее всего, вообще не взлетит. Если воды налить чуть-чуть, то она быстро вытечет и ракета не получит большого импульса. Если сопло будет узким - вода будет выходить тонкой струйкой, не создавая необходимой тяги. Если широким (например, диаметром с саму бутылку), то вся вода будет мгновенно выбита, ракета подскочит на пару метров, и все. Получается, что оптимальные значения $\mu$ и $S$ лежат где-то между этими крайностями. Люди, делающие такие ракеты, обычно в качестве сопла используют горлышко бутылки диаметром $d=22\text{ мм}$ и рекомендуют наполнять ее водой на треть.

Для того, чтобы найти оптимальные значения $\mu$ и $S$, нам надо получить выражение через них максимальной высоты взлета

$$H(\mu,S)=H_e(\mu,S)+\frac{v_e(\mu,S)^2}{2g} \eqno(1)$$

Здесь $H_e$ - высота прекращения тяги, $v_e$ - скорость, достигнутая при прекращении тяги.

Исследум сначала работу нашего пневмо-водяного двигателя. Скорость истечения воды $v_w$ определяется из уравнения Бернулли

$$P=\rho\dfrac{v_w^2}{2} \eqno(2)$$

где $P$ - давление в бутылке, $\rho =1000{\text{ кг}}/{\text{м}^3}$ - плотность воды. Считая процесс адиабатическим, имеем так же соотношение (точкой обозначаем производную по времени)

$$kP\dot{V}+V\dot{P}=0 \eqno(3)$$

Подставляя (2) в (3) и сокращая на $\rho v_w$ , получаем

$$\frac{k}{2} v_w \dot{V} + V \dot{v}_w=0$$

Заменяем $v_w=\dot{V}/S$

$$V \ddot{V}+\frac{k}{2} \dot{V}^2=0 \eqno(4)$$

Обозначим $V_a=(1-\mu)V_0$. Тогда начальные условия

$$V(0)=(1-\mu)V_0=V_a \eqno(4a)$$

$$\dot{V}(0)=S v_w(0)=S\sqrt{\frac{2P_0}{\rho}} \eqno(4b)$$

Решаем уравнение (4) заменой $V=y^{2/(k+2)}$. Получаем уравнение $\ddot{y}=0$ c решением $y(t)=\dot{y}(0)t+y(0)$, где $y(0)=V_a^{k/2+1}$ и $\dot{y}(0)=(k/2+1) V_a^{k/2} S\sqrt{\frac{2P_0}{\rho}}$ . Отсюда

$$V=\Bigl((k/2+1)S\sqrt{\frac{2P_0}{\rho}}V_a^{k/2} t+V_a^{k/2+1}\Bigr)^{2/(k+2)}=$$

$$=V_a^{k/(k+2)}\Bigl((k/2+1)S\sqrt{\frac{2P_0}{\rho}} t+V_a\Bigr)^{2/(k+2)} \eqno(5)$$

Найдем момент времени прекращения тяги, решая уравнение $V(t_e)=V_0$.

$$V_0=V_a^{k/(k+2)}\Bigl((k/2+1)S\sqrt{\frac{2P_0}{\rho}} t_e+V_a\Bigr)^{2/(k+2)}$$

$$V_0^{k/2+1} V_a^{-k/2}=(k/2+1)S\sqrt{\frac{2P_0}{\rho}} t_e+V_a$$

$$t_e=\frac{\rho^{1/2}(V_0^{k/2+1} V_a^{-k/2}-V_a)}{(k/2+1)S\sqrt{2P_0}} \eqno(6)$$

Теперь, чтобы найти выражения для $H_e$ и $v_e$, используем уравнение Мещерского

$$M\dot{v}=-v_w\dot{M}-Mg-\frac{1}{2} C_f \rho_a v^2 V_f^{2/3} \eqno(7)$$

где $M$ - полная масса ракеты , а $v$ - скорость ракеты. Последнее слагаемое - сила сопротивления воздуха. Здесь $C_f=0.75$ - коэффициент сопротивления формы ракеты, $\rho_a=1.293{\text{ кг}}/{\text{м}^3}$ - плотность воздуха, $V_f=M_0/\rho+V_0$ используем в качестве полного объема ракеты. Далее обозначим $C=\frac{1}{2} C_f \rho_a V_f^{2/3}$.
Выразим $M$, $\dot{M}$, $v_w$ через $V$ и $\dot{V}$ и подставим в (7):

$$M=M_0+\rho (V_0-V);\; \dot{M}=-\rho \dot{V};\; v_w=\dot{V}/S$$

$$(M_0+\rho (V_0-V))\dot{v}=\rho \dot{V}^2/S-g(M_0+\rho (V_0-V))-C v^2$$

$$\dot{v}=\frac{-C v^2}{ (M_0+\rho (V_0-V))}+\frac{\rho \dot{V}^2}{S (M_0+\rho (V_0-V))}-g$$

Представим $V$ в виде $(At+B)^{2/(k+2)}$. Тогда $\dot{V}=\frac{2A}{k+2}(At+B)^{-k/(k+2)}=\frac{2A}{k+2}V^{-k/2}$. И мы получаем уравнение Риккати с начальным условием $v(0)=0$

$$\dot{v}=\frac{-C}{ \rho(V_f-V)}v^2+\frac{4 A^2 V^{-k}}{S (k+2)^2 (V_f-V)}-g \eqno(8)$$

Будем обозначать $v'=\dfrac{dv}{dV}$. Тогда $\dot{v}=v'\dot{V}=v'\frac{2A}{k+2}V^{-k/2}$. Подставим в (8) и получим

$$v'\frac{2A}{k+2}V^{-k/2}=\frac{-C}{ \rho(V_f-V)}v^2+\frac{4 A^2 V^{-k}}{S (k+2)^2 (V_f-V)}-g$$

или

$$v'=\frac{-C(k+2)V^{k/2}}{2 A \rho(V_f-V)}v^2+\frac{2 A V^{-k/2}}{S (k+2) (V_f-V)}-g \eqno(8a)$$

с начальным условием $v(V_a)=0$.
Подстановкой $F=\frac{-C(k+2)V^{k/2}}{2 A \rho(V_f-V)}$, $G=\frac{2 A V^{-k/2}}{S (k+2) (V_f-V)}-g$ и $U=\exp(-\int F v dV)$ получаем уравнение

$$F U''-F'U'-GF^2U=0$$

или, учитывая $F'=\frac{-Ck(k+2)V^{k/2-1}}{4 A \rho(V_f-V)}+\frac{-C(k+2)V^{k/2}}{2 A \rho(V_f-V)^2}$:

$$ U''-(\frac{k}{2}V^{-1}+(V_f-V)^{-1})U'+$$

$$+C \rho^{-1} (S^{-1}(V_f-V)^{-2}-\frac{1}{2}g A^{-1} (k+2)V^{k/2}(V_f-V)^{-1})U=0 \eqno(9)$$

И тут я оказался в тупике.
Собственно, вопросы: правильный ли я путь выбрал? Может можно проще решить задачу? С какой стороны подобраться к этому уравнению Риккати (8a) или производному от него уравнению (9)?

[Skeptic]

Если в бутылку накачивать не воздух, а воду, то задача разбивается на две подзадачи.
1. Определить максимальный объём воды, который можно закачать для достижения заданного давления в бутылке.
2. Зная объём воды и её давление в бутылке вычислить диаметр сопла для достижения максимальной высоты подъёма водяной ракеты.

[DimaM]

Skeptic в сообщении #1007478 писал(а):

Если в бутылку накачивать не воздух, а воду, то

она не полетит. Потому что из-за малой сжимаемости воды запасенная энергия будет мизерной.

[artur_k]

Skeptic в сообщении #1007478 писал(а):

Если в бутылку накачивать не воздух, а воду, то задача разбивается на две подзадачи.
1. Определить максимальный объём воды, который можно закачать для достижения заданного давления в бутылке.
2. Зная объём воды и её давление в бутылке вычислить диаметр сопла для достижения максимальной высоты подъёма водяной ракеты.

Если я правильно понял идею - в герметично закрытую бутылку с воздухом закачивать воду, пока давление воздуха не станет $P_0$. Но как показать, что этот объем воды будет оптимальным? Ведь, если закачать чуть меньше воды, а потом воздушным компрессором догнать давление до $P_0$, то стартовая масса ракеты будет меньше при той же скорости истечения, а значит ускорение будет больше.
Ну и это не спасает от решения того-же уравнения Риккати, только вместо $V_a$, зависящего от $\mu$, будет $V_a=\operatorname{const}$

[Geen]

А Вы уверены, что на разгоном этапе сопротивление воздуха играет существенную роль?

[Pulseofmalstrem]

Изложу свой вариант решения данной задачи.
Вот обозначения в которых я буду работать (для сверяния):
$S$ - площадь горлышка, $\mu$ - коэффициент заполнения бутылки, умнажая объем бутылки на него получаем объем водички внутри в начальный момент времени.

1. Запишем уравнение Бернулли и найдем из него мгновенную скорость истечения:
$P = \frac{\rho v^2 }{2}$
Отсюда мгновенная скорость истечения равна:
$v = \sqrt{\frac{2P}{\rho}}$

2. Оценим массу воды, которая вытекает из бутылочки за малое время $dt$, исходя из того что вода выливается ввиде маленького цилидра (за малое время струя слабо меняет свою форму и этим можно пренебречь в приближении):
$dm = \rho dV = \rho Svdt = \rho S \sqrt{\frac{2P}{\rho}}dt$

3. Выразим импульс, который отбрасывается нашей бутылочкой за малый промежуток времени:
$dp = vdt = \sqrt{\frac{2P}{\rho}}\rho S \sqrt{\frac{2P}{\rho}}dt= 2PSdt$
Поделив на $dt$ и вспомнив определение силы, получаем:
$F = 2PS$
Это мгновенная сила, действующая на бутылочку, теперь так как столбик водички весьма мал я пренебрегу им, и подставлю давление из уравнения состояния для воздуха над водичкой, так как температура окружающей среды остается постоянной, то температура нашего воздуха в бутылочке постоянная, а значит давление зависит от объема обратно пропорционально:
$P = \frac{a}{V}$, где $a$ - некий коэффициент пропорциональности.
Вернемся к нашему уравнению для силы:
$F = \frac{2Sa}{V}$

4. Зададимся вопросом о нахождении функции объема от времени, при вытекании воды объем увеличивается, оценим увеличение объема за малый промежуток времени, очевидно оно равно объему истекшей воды:

$dV = Svdt = S\sqrt{\frac{2a}{V\rho}}dt$
Разделяем переменные и готовимся к решению данного дифференциального уравнения:
$\sqrt{V}dV = S\sqrt{\frac{2a}{\rho}}dt$
Интегрируя неопределенным образом, получаем:
$\frac{2}{3}V^\frac{3}{2} = S\sqrt{\frac{2a}{\rho}}t + C$
$V^\frac{3}{2} = \frac{3}{2}S\sqrt{\frac{2a}{\rho}}t + \frac{3}{2}C$
$V = (\frac{3}{2}S\sqrt{\frac{2a}{\rho}}t + \frac{3}{2}C)^\frac{2}{3}$
Найдем константу интегрирования, исходя из начальных условий:
$ V_0(1 - \mu) = \frac{3}{2}C^\frac{2}{3}$
$C = (\frac{2}{3}V_0(1 - \mu))^\frac{3}{2}$

Подставим полученную константу в нашу функцию:
$V = (\frac{3}{2}S\sqrt{\frac{2a}{\rho}}t + \frac{3}{2}(\frac{2}{3}V_0(1 - \mu))^\frac{3}{2})^\frac{2}{3}$

5. Теперь можно получить и зависимость силы от времени:
$F = \frac{2Sa}{(\frac{3}{2}S\sqrt{\frac{2a}{\rho}}t + \frac{3}{2}(\frac{2}{3}V_0(1 - \mu))^\frac{3}{2})^\frac{2}{3}}$

6. С течением времени масса бутылочки также меняется, запишем выражение для массы бутылки:
$m = m_0 + m'$, $m'$ - масса воды.
Найдем функцию зависимости массы воды в бутылки от времени, опять рассматриваем процесс истечения воды из горлышка:
$dm = \rho S \sqrt{\frac{2P}{\rho}}dt$ - данный результат я уже получал, подставляем сюда зависимость давления от объема и объема от времени получаем:
$dm = \rho S \sqrt{\frac{2a}{V\rho}}dt = \rho S \sqrt{\frac{2a}{((\frac{3}{2}S\sqrt{\frac{2a}{\rho}}t + \frac{3}{2}(\frac{2}{3}V_0(1 - \mu))^\frac{3}{2})^\frac{2}{3})\rho}}dt$

Пока прерву изложение, на бумаге надо посчитать, прошу проверить верность всего вышеуказанного.

[artur_k]

Geen в сообщении #1007500 писал(а):

А Вы уверены, что на разгоном этапе сопротивление воздуха играет существенную роль?

Вариант, когда вообще пренебречь сопротивлением воздуха, я просчитал.

На рисунке график зависимости $H$ от $\mu$ и $d$ (диаметра сопла) без учета сопротивления воздуха.
Как видно, максимума в зависимости от диаметра сопла нет. Это происходит потому, что при большом диаметре сопла - ракета практически мгновенно получает большой импульс, а значит большую начальную скорость и взлетает высоко. Но при наличии сопротивления воздуха, она не получит большой начальной скорости из-за аэродинамического торможения на разгонном этапе.

Это как для предмета, падающего с большой высоты. Он не наберет скорость $v=\sqrt{2 g h}$. Его скорость падения стабилизируется на определенной величине, которая зависит от коэффициента аэродинамического сопротивления.

[Pulseofmalstrem]

artur_k
Может быть хорошим приближением будет предположение о том, что на низких скоростях сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости? Это, возможно, упростит рассчет. А почему вы пользуетесь адиабатой? Ведь на мой взгляд логичняя взять изотерму.

-- 24.04.2015, 13:03 --

Продолжаю свое решение, там надо откатиться немного назад к строчке:
$dm = \rho S \sqrt{\frac{2a}{V\rho}}dt $
Поскольку влоб решать довольно проблематично, то мы сделаем вот такую хитрость:
$V = V_0 - V'$, $V'$ - объем водички, который можно выразить через массу и плотность водички.
$V = V_0 - \frac{\rho}{m}$
Тогда снова разделяем наши переменные:
$\sqrt{V_0\rho - m}dm = \rho S\sqrt{2a}dt$
Интегрируем неопределенным образом:
$-\frac{2}{3}(V_0\rho - m)^\frac{3}{2} = \rho S\sqrt{2a}t + C$
Пока все.

[artur_k]

Pulseofmalstrem в сообщении #1007515 писал(а):

artur_k
Может быть хорошим приближением будет предположение о том, что на низких скоростях сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости? Это, возможно, упростит рассчет. А почему вы пользуетесь адиабатой? Ведь на мой взгляд логичняя взять изотерму.

Здесь скорости порядка десятков метров в секунду. Без учета сопротивления воздуха - $50 \text{ м/с}$. А это $180 \text{км/ч}$. Вряд ли на таких скоростях можно пренебречь турбуленцией.

Адиабата - потому, что процесс происходит быстро, теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Воздух при расширении будет охлаждаться, а нагреться до температуры окружающей среды за ~ пару секунд работы двигателя он не успеет.

[Pulseofmalstrem]

artur_k
А ну тогда да, логично брать адиобатту. Но если решать с турбулентностью - это очень сложный расчет будет выходить.

[Geen]

artur_k в сообщении #1007512 писал(а):

Вариант, когда вообще пренебречь сопротивлением воздуха, я просчитал.

Вы можете подставить получившиеся значения в конце разгона в (8)?

artur_k в сообщении #1007512 писал(а):

Как видно, максимума в зависимости от диаметра сопла нет. Это происходит потому, что при большом диаметре сопла - ракета практически мгновенно получает большой импульс, а значит большую начальную скорость и взлетает высоко. Но при наличии сопротивления воздуха, она не получит большой начальной скорости из-за аэродинамического торможения на разгонном этапе.

При большом диаметре сопла вода останется практически на месте и на её разгон не будет тратиться энергия. Сопротивление воздуха, как кажется, совершенно не "спасёт" ситуацию.

[Sender]

Geen в сообщении #1007529 писал(а):

При большом диаметре сопла вода останется практически на месте и на её разгон не будет тратиться энергия. Сопротивление воздуха, как кажется, совершенно не "спасёт" ситуацию.

Согласен. Воздух просто-напросто пройдёт сквозь воду большим пузырём. Если бы ракета на старте приобретала скорость $50$ м/с, она, в соответствии с приведёнными параметрами, поднялась бы не менее, чем на $70$ м (это если считать лобовое сопротивление в течение всего времени полёта соответствующим скорости $50$ м/с). Может, стоит попробовать вставить поршень между водой и воздухом?

[Xey]

Видимо рекомендованная 1/3 близка е оптимуму и существенно высоту не увеличить.
Остается применение тяжелой жидкости , смесь воды и песка или ртуть (если запускать на месторождении ртути)
Или перегретая вода, которая будет кипеть и поддерживать давление пара в прощессе увеличения объема над жидкостью. Старт будет по мере увеличения давления при закипания подсоленой воды в ракете от проходящего электрического тока.
Реализовать это не так уж сложно , а какой эффектный будет след, особенно в морозную погоду. Как-то в минус 25 я выплеснул кипяток из кастрюли. Красивое облачко получилось.

[Sender]

Или при нажатии на стартовую кнопку смешивать воду с карбидом кальция. Правда, весь стартовый стол будет залит гашеной известью.

[Skeptic]

artur_k в сообщении #1007498 писал(а):

Если я правильно понял идею - в герметично закрытую бутылку с воздухом закачивать воду, пока давление воздуха не станет $P_0$. Но как показать, что этот объем воды будет оптимальным? Ведь, если закачать чуть меньше воды, а потом воздушным компрессором догнать давление до $P_0$, то стартовая масса ракеты будет меньше при той же скорости истечения, а значит ускорение будет больше.
Ну и это не спасает от решения того-же уравнения Риккати, только вместо $V_a$, зависящего от $\mu$, будет $V_a=\operatorname{const}$

Поставим вопрос по-другому.

Какое минимальное давление нужно создать в бутылке, чтобы расширившийся воздух занял полностью объём воды?
Какой максимальный объём воды можно закачать в бутылку, чтобы не превысить заданное давление воздуха?

При таком способе заполнения скорость истечения воды будет изменяться от максимальной до нулевой. Но для повышения эффективности полёта ракеты может потребоваться конечная скорость истечения воды больше нуля. Значит, в бутылке надо создавать большее давление, а это повлечёт уменьшение объёма воды при ограничении на максимальное давление воздуха.

-- 24.04.2015, 16:23 --

Что заставляет бутылку взлететь: истекающая вода или давление воздуха на дно бутылки?

В бутылке находится вода и воздух под давлением. При подъёме бутылка за счёт своей формы увлекает за собой и воду, т.е. часть воды движется вместе с бутылкой, увеличивая её массу и противодействуя движению бутылки.

Заткнём пустую бутылку пробкой, закреплённой на земле. Будем накачивать в бутылку воздух. До достижения определённого давления воздуха бутылка взлетит (вылетит как пробка).

Что взлетит выше: бутылка с водой или пустая при одинаковом начальном давлении воздуха?

Получается, что вода в бутылке вредит полёту: чем меньше воды, тем выше взлетит бутылка.