Водяная ракета

[artur_k]

Geen в сообщении #1007529 писал(а):

Вы можете подставить получившиеся значения в конце разгона в (8)?

При расчете я принял $k=3/2$, получилось

$$v=\frac{\sqrt{2P_0}V_a^{3/4}}{\rho^{1/2}V_f^{3/4}}\Bigl(2\arctg\frac{V^{1/4}}{V_f^{1/4}}-\ln\frac{V_f^{1/4}-V^{1/4}}{V_f^{1/4}+V^{1/4}}-2\arctg\frac{V_a^{1/4}}{V_f^{1/4}}+\ln\frac{V_f^{1/4}-V_a^{1/4}}{V_f^{1/4}+V_a^{1/4}}\Bigr)-gt;$$

тогда

$$\dot{v}=\frac{\sqrt{2P_0}V_a^{3/4}}{4\rho^{1/2}V_f^{3/4}}\Bigl( \frac{2V^{-3/4}}{(1+V^{1/2})}+\frac{2V^{-1/2}}{V_f^{1/2}-V^{1/2}}\Bigr)\dot{V}-g=$$

$$=\frac{A\sqrt{2P_0}V_a^{3/4}}{28\rho^{1/2}V_f^{3/4}}\Bigl( \frac{2V^{-3/2}}{(1+V^{1/2})}+\frac{2V^{-5/4}}{V_f^{1/2}-V^{1/2}}\Bigr)-g$$

Соответственно в момент времени $t_e$

$$v(t_e)=\frac{\sqrt{2P_0}V_a^{3/4}}{\rho^{1/2}V_f^{3/4}}\Bigl(2\arctg\frac{V_0^{1/4}}{V_f^{1/4}}-\ln\frac{V_f^{1/4}-V_0^{1/4}}{V_f^{1/4}+V_0^{1/4}}-2\arctg\frac{V_a^{1/4}}{V_f^{1/4}}+\ln\frac{V_f^{1/4}-V_a^{1/4}}{V_f^{1/4}+V_a^{1/4}}\Bigr)-gt_e;$$

$$\dot{v}(t_e)= \frac{A\sqrt{2P_0}V_a^{3/4}}{28\rho^{1/2}V_f^{3/4}}\Bigl( \frac{2V_0^{-3/2}}{(1+V_0^{1/2})}+\frac{2V_0^{-5/4}}{V_f^{1/2}-V_0^{1/2}}\Bigr)-g$$

Если подставить это и $V(t_e)=V_0$ в (8), то что это даст?

Geen в сообщении #1007529 писал(а):

При большом диаметре сопла вода останется практически на месте и на её разгон не будет тратиться энергия. Сопротивление воздуха, как кажется, совершенно не "спасёт" ситуацию.

А сохранение импульса? Если в бутылку массой $50\text{ г}$ залить пол-литру, то скорость бутылки будет больше скорости воды в 10 раз.

-- 24.04.2015, 16:39 --

Skeptic в сообщении #1007560 писал(а):

Заткнём пустую бутылку пробкой, закреплённой на земле. Будем накачивать в бутылку воздух. До достижения определённого давления воздуха бутылка взлетит (вылетит как пробка).
Что взлетит выше: бутылка с водой или пустая при одинаковом начальном давлении воздуха?
Получается, что вода в бутылке вредит полёту: чем меньше воды, тем выше взлетит бутылка.

В стартовом посте я привел ссылку на видео. Там как-раз сначала запускают бутылку только на воздухе, а потом добавив воды грамм 50. Разница весьма заметна :) И она в противоположную сторону от Вашего вывода.

-- 24.04.2015, 16:54 --

Sender в сообщении #1007541 писал(а):

Или при нажатии на стартовую кнопку смешивать воду с карбидом кальция. Правда, весь стартовый стол будет залит гашеной известью.

На уксусе с содой делают http://www.youtube.com/watch?v=ZJRsSLSjiFk

[Skeptic]

(Оффтоп)

Моя идея не подтвердилась. Бывает.

[Geen]

artur_k в сообщении #1007575 писал(а):

При расчете я принял $k=3/2$, получилось

Ээээ, а почему не $7/5$?

artur_k в сообщении #1007575 писал(а):

Если подставить это и $V(t_e)=V_0$ в (8), то что это даст?

Идея была сравнить слагаемые по величине.....

-- 24.04.2015, 17:31 --

А что за давления у Вас в формулах (2) и (3)??

[artur_k]

Geen в сообщении #1007589 писал(а):

artur_k в сообщении #1007575 писал(а):

При расчете я принял $k=3/2$, получилось

Ээээ, а почему не $7/5$?

Там надо считать интеграл

$$\int \frac{V^{-k/2}}{M_0/\rho+V_0-V}\,dV$$

Который при $k=7/5$ дает гипергеометрическую функцию. Что с ней дальше делать - я не знал, поэтому взял близкое $k=3/2$.

Geen в сообщении #1007589 писал(а):

А что за давления у Вас в формулах (2) и (3)??

Зависящее от времени давление воздуха в бутылке. Воздух расширяется - давление падает.

[Geen]

artur_k в сообщении #1007594 писал(а):

Зависящее от времени давление воздуха в бутылке. Воздух расширяется - давление падает.

Возникает ощущение, что у Вас бутылка в вакууме....

[artur_k]

Geen в сообщении #1007598 писал(а):

artur_k в сообщении #1007594 писал(а):

Зависящее от времени давление воздуха в бутылке. Воздух расширяется - давление падает.

Возникает ощущение, что у Вас бутылка в вакууме....

В (2) все нормально, там разность давлений используется. А вот в (3) действительно ошибся, там вместо $P$ надо использовать $P+P_\text{atm}$.
Тогда уравнение (4) усложниться... Ну что ж, попробую пересчитать.

[Pulseofmalstrem]

artur_k
Мне кажется, что должен быть какой-то иной выход из данного положения, возможно, хорошей идеей стал бы энергетический подход, если придумать способ, найти уравнение, связующее изменение внутренней энергии воздуха (за счет нее-то мы и летим против силы тяжести и сопротивления) с выходом кинетической энергией (это возможно), то мы смогли бы оценить качественно какой толчок получает ракета.
То есть, возможно, интереснее было бы искать не максимум высоты, а максимум полезной работы, и уже к нему прикручивать максимум высоты.

[Geen]

artur_k в сообщении #1007676 писал(а):

Ну что ж, попробую пересчитать.

Уравнение (3) достаточно просто интегрируется.... (хотя дальше всё равно сложности)

[Skeptic]

Pulseofmalstrem в сообщении #1007697 писал(а):

artur_k
Мне кажется, что должен быть какой-то иной выход из данного положения, возможно, хорошей идеей стал бы энергетический подход, если придумать способ, найти уравнение, связующее изменение внутренней энергии воздуха (за счет нее-то мы и летим против силы тяжести и сопротивления) с выходом кинетической энергией (это возможно), то мы смогли бы оценить качественно какой толчок получает ракета.
То есть, возможно, интереснее было бы искать не максимум высоты, а максимум полезной работы, и уже к нему прикручивать максимум высоты.

Это ключ к решению.

В обе бутылки: пустую и с водой, закачивается одинаковый объём воздуха (семь качков насосом). В бутылках создаётся одинаковое давление воздуха. При равенстве потенциальной энергии давления воздуха более тяжёлая бутылка с водой приобретает большую кинетическую энергию. Почему? Значит, коэффициент полезного действия установки с водой больше.
Рассмотрим пусковое устройство. Оно срабатывает медленно, т.к. неударного действия и ручного привода. Во время срабатывания сначала появляется зазор, затем через некоторое раскрывается замок. В этот промежуток времени воды выльется меньше, чем выйдет воздуха, за счёт разной вязкости. Поэтому пустая ракета будет стартовать с меньшим давлением воздуха.
Воды потребуется столько, чтобы её хватило до раскрытия замка. В передаче прямо указано: "Нальём небольшое количество воды".

[Xey]

По сути, Вы предлагает пушку. Только в таком исполнении она очень короткая.
Можно её удлинить, поместив стартующую ракету в закрытую снизу трубу, как в миномете.

Пушка эффективнее ракеты, если бы не сопротивление атмосферы.
Да и не та картинка старта. Кстати, не пробовали окрашивать воду марганцовкой или вишневым соком?

[Skeptic]

"Водяная пушка" - это лучше описывает происходящие процессы.
На видео хорошо видны прорывы воды перед стартом, что свидетельствует о большом давлении, действующем на ракету снаружи..

[GraNiNi]

Skeptic в сообщении #1007769 писал(а):

В обе бутылки: пустую и с водой, закачивается одинаковый объём воздуха (семь качков насосом). В бутылках создаётся одинаковое давление воздуха.

Давление будет разное, в бутылке с водой - больше, так вода занимает часть объема бутылки.

[Pulseofmalstrem]

Я бы в своем решении сделал бы акцент вот на чем, по сути при протекании данного процесса внутренняя энергия, запасенная в газе, переходит в кинетическую энергию бутылки, причем пока в бутылки есть вода часть энергии уходит на разгон самой бутылки, а часть на разгон воды внутри бутылки, нам полезна только первая часть, ибо разогнанную воду мы потом все равно выкинем вниз.

[Утундрий]

artur_k в сообщении #1007676 писал(а):

в (3) действительно ошибся, там вместо $P$ надо использовать $P+P_\text{atm}$.
Тогда уравнение (4) усложниться...

Учтите ещё, что бутылка движется ускоренно.

[artur_k]

Утундрий в сообщении #1008109 писал(а):

Учтите ещё, что бутылка движется ускоренно.

Имеете ввиду, что в уравнение Бернулли нужно добавить слагаемое $\rho (\dot{v}+g) (V_0-V)/S_b$, где $S_b$ - площадь сечения бутылки?
Жестокий Вы человек
Прикинул - ускорение на старте (когда оно максимально) порядка $10 g$, что на столбе воды $~10\text{ см}$ дает поправку давления порядка $0.1\text{ атм}$. Думаю, можно пренебречь?