Достаточные свойства для понятия "натуральное число"

[arseniiv]

epros в сообщении #1006325 писал(а):

Если принадлежит любому множеству, содержащему 0 и всех его последователей, то это натуральное число.

epros в сообщении #1006691 писал(а):

Предикатный символ по-сути означает то же, что множество.

Т. е. тогда «$a$ — натуральное число» = $\forall P.\; P0\wedge(\forall x.\; Px\to Px')\to Pa$? Не уверен, что понял как правильно записать «содержащего 0 и всех его последователей».

-- Ср апр 22, 2015 13:59:02 --

Да и не нужно, вроде, такое уточнение.

[epros]

arseniiv в сообщении #1006730 писал(а):

Т. е. тогда «$a$ — натуральное число» = $\forall P.\; P0\wedge(\forall x.\; Px\to Px')\to Pa$? Не уверен, что понял как правильно записать «содержащего 0 и всех его последователей».

Ну вот правильно же всё записали. Единственно, если быть точным, к этому нужно добавить аксиомы, определяющие значение функционального символа $'$ (что это инъекция и т.п.). С тем, что Вы написали, они объединяется по "и".

arseniiv в сообщении #1006730 писал(а):

Да и не нужно, вроде, такое уточнение.

Почему?

[arseniiv]

epros в сообщении #1006746 писал(а):

Единственно, если быть точным, к этому нужно добавить аксиомы, определяющие значение функционального символа $'$

Я считал, что они с этой формулой объединяются в одну кипу, модель которой ищем целиком.

epros в сообщении #1006746 писал(а):

Почему?

Как его всё-таки тогда записать? Ведь я записал «любому предикату, которому удовлетворяет ноль и последователь любого удовлетворяющего ему элемента, удовлетворяет $a$». То, что предикату удовлетворяет любой последователь нуля, как будто более слабое утверждение, чем то, что предикату удовлетворяет ноль и последователь любого удовлетворяющего ему элемента.

[epros]

arseniiv в сообщении #1006923 писал(а):

Я считал, что они с этой формулой объединяются в одну кипу, модель которой ищем целиком.

Ну да. Я ведь обещал, что понятие определится одной формулой в языке второго порядка, т.е. без всякой дополнительной аксиоматики. А это значит, что всё, что мы хотим сказать про инъективность инкремента и т.п., тоже нужно впихнуть в эту формулу. Такая чистая формальность.

arseniiv в сообщении #1006923 писал(а):

Как его всё-таки тогда записать? Ведь я записал «любому предикату, которому удовлетворяет ноль и последователь любого удовлетворяющего ему элемента, удовлетворяет $a$». То, что предикату удовлетворяет любой последователь нуля, как будто более слабое утверждение, чем то, что предикату удовлетворяет ноль и последователь любого удовлетворяющего ему элемента.

А, это относится только к слову "его", выделенность коего я не заметил. В принципе, это слово можно и убрать, оно там только для улучшения воспринимаемости формулировки. То, что к натуральным числам не будут отнесены последователи чего-то помимо нуля, гарантируется словами "любое множество".

[arseniiv]

epros в сообщении #1007063 писал(а):

То, что к натуральным числам не будут отнесены последователи чего-то помимо нуля, гарантируется словами "любое множество".

Именно; это-то я вижу.