Достаточные свойства для понятия "натуральное число"

[epros]

AGu в сообщении #1006330 писал(а):

При чем тут второй порядок??? Это же классическое определение множества натуральных чисел в самой обычной теории множеств первого порядка.

Ну я же и говорю (повторяя Куайна), что на языке второго порядка можно выразить то, что выражается в терминах "множеств". Вот только теория множеств первого порядка всё равно может иметь нестандартные модели, а модель арифметики второго порядка вроде как одна.

[AGu]

Ох, epros, с этим Вашим вторым порядком Вы, похоже, всех запутали. Ладно, проехали.

[aa_dav]

epros в сообщении #1005986 писал(а):

арифметика Пеано первого порядка имеет множество неизоморфных моделей, в некоторых из которых существуют т.н. "нестандартные" натуральные числа (это такие числа, которые больше любого стандартного)

Я плохо в этом всём разбираюсь - но судя по тому как это звучит - не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?

[Anton_Peplov]

aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):

останется один единственный вид бесконечности вообще?

Единственный точно не останется. Мощность системы всех подмножеств множества $X$ больше мощности $X$. Эрго, система всех подмножеств $\mathbb{R}$ мощнее континуума, система всех подмножеств этой системы еще мощнее, и так далее. Имеем бесконечно возрастающую последовательность мощностей.

А наличие "нестандартных" чисел, насколько я понял, означает лишь, что $\mathbb{N}$ разбивается на два бесконечных (счетных) подмножества $A$ и $B$ таких, что всякий элемент $A$ больше всякого элемента $B$. В классической модели этого сделать нельзя, а тут - поди ж ты. Но мощность $\mathbb{N}$ при этом не переопределяется. Если я не прав, пусть уважаемые специалисты, меня поправят.

Да, и счетность с перечислимостью путать не надо.

[epros]

aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):

не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?

Равномощными разные кардинальные числа не станут. "Поплывут" вещи гораздо более важные, чем эти фантастические конструкции из бесконечностей. А именно, "плывёт" понятие вычислимости: Если нам говорят, что алгоритм останавливается через количество шагов, выражаемое "натуральным числом", то будет неприятно, если это натуральное число окажется нестандартным.

[AGu]

epros сейчас опять всех запутает.

aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):

не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?

Понятия перечислимости, равномощности и т.п. — не арифметические (хоть и «кодируемые»). Но дело даже не в этом. Какой бы странной ни была модель теории, она все равно является моделью этой теории, а значит, в этой модели истинно все, что можно доказать в этой теории, т.е. в ней ничего никуда не «плывет». В необычной модели могут оказаться истинными некоторые неопровержимые утверждения (или ложными некоторые недоказуемые), но это не касается таких простых вопросов, о которых Вы говорите.

[aa_dav]

Anton_Peplov в сообщении #1006340 писал(а):

бесконечно возрастающую последовательность мощностей

А, спасибо, я значит криво понимал Континуум-гипотезу. Тогда вопрос по другому - получается что она потеряет смысл?

[Someone]

aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):

Я плохо в этом всём разбираюсь - но судя по тому как это звучит - не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?

Понятие мощности вводится в теории множеств, а не в арифметике. Причём, при определении конечности и счётности имеется в виду конкретная модель натурального ряда в данной теории множеств (наименьшее индуктивное множество). Поэтому нужна не "нестандартная модель арифметики", а "нестандартная модель теории множеств". Но это всё всуе. Потому что все определения и теоремы теории множеств никак не зависят от модели.

Вообще, полезно помнить, что есть теория, в которой формулируются и доказываются всякие определения и теоремы, а есть модель теории, которая есть интерпретация этой теории. Теория о своих моделях ничего "не знает" и никак от них не зависит.

aa_dav в сообщении #1006344 писал(а):

А, спасибо, я значит криво понимал Континуум-гипотезу. Тогда вопрос по другому - получается что она потеряет смысл?

С какой стати? Просто в некоторых моделях континуум-гипотеза истинна, в других — ложна, и по этой причине в ZFC её нельзя ни опровергнуть, ни доказать.

[AGu]

aa_dav в сообщении #1006344 писал(а):

получается что она потеряет смысл?

Еще раз, в модели верно все, что верно (точнее, доказуемо) в теории. Все, что в теории имело смысл, будет иметь смысл и в модели и сохранит в ней все свои доказуемые свойства. Странности модели могут быть видны только «снаружи» этой модели, а внутри нее — все пучком. Но это всё не те вопросы, над которыми следует задумываться «неспециалистам» до того, как они решат начать серьезно изучать логику и теорию моделей.

P.S. О, вот и Someone подоспел. Спасибо, коллега.

[aa_dav]

Ну да, в принципе понятно. Даже с такими "убернатуральными" можно вывести субмножество убернатуральных, которое окажется тем же что имели ввиду ранее и как бы опять весь вопрос в том лишь какой и куда мы вкладывали смысл.
Хорошо, спасибо.

[Anton_Peplov]

aa_dav в сообщении #1006344 писал(а):

А, спасибо, я значит криво понимал Континуум-гипотезу.

А сформулируйте-ка континуум-гипотезу. Тогда будет ясно, насколько прямо Вы ее понимаете.

[AGu]

aa_dav в сообщении #1006349 писал(а):

Ну да, в принципе понятно. Даже с такими "убернатуральными" можно вывести субмножество убернатуральных, которое окажется тем же что имели ввиду ранее и как бы опять весь вопрос в том лишь какой и куда мы вкладывали смысл.

Да, можно так сказать.
(Кажется, наш неспециалист-собеседник просек суть, которую мы пытались донести, употребляя умные слова и стараясь не показаться дураками в глазах коллег. Кто как хочет, а я начинаю немедленно собой гордиться.)

[aa_dav]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1006353 писал(а):

Кажется, наш неспециалист-собеседник просек суть, которую мы пытались донести, употребляя умные слова и стараясь не показаться дураками в глазах коллег. Кто как хочет, а я начинаю немедленно собой гордиться.

Но не стоит забывать, что без меня у вас бы этого не получилось! :)

Anton_Peplov в сообщении #1006350 писал(а):

А сформулируйте-ка континуум-гипотезу. Тогда будет ясно, насколько прямо Вы ее понимаете.

Не не, не стоит, я стесняюсь. Там было кое что похуже с пониманием как раз мощностей.

[arseniiv]

epros в сообщении #1006325 писал(а):

Ну, как в теории множеств: Если принадлежит любому множеству, содержащему 0 и всех его последователей, то это натуральное число. На языке второго порядка записывается без проблем.

Так тут уже какие-то множества пошли — откуда, зачем?

[epros]

arseniiv в сообщении #1006672 писал(а):

Так тут уже какие-то множества пошли — откуда, зачем?

Предикатный символ по-сути означает то же, что множество. Народ привык к слову "множество", поэтому когда так говорят, воспринимается легче.