2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 13:51 
Аватара пользователя
AGu в сообщении #1006330 писал(а):
При чем тут второй порядок??? Это же классическое определение множества натуральных чисел в самой обычной теории множеств первого порядка.
Ну я же и говорю (повторяя Куайна), что на языке второго порядка можно выразить то, что выражается в терминах "множеств". Вот только теория множеств первого порядка всё равно может иметь нестандартные модели, а модель арифметики второго порядка вроде как одна.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 13:56 
Ох, epros, с этим Вашим вторым порядком Вы, похоже, всех запутали. Ладно, проехали. :-)

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:02 
epros в сообщении #1005986 писал(а):
арифметика Пеано первого порядка имеет множество неизоморфных моделей, в некоторых из которых существуют т.н. "нестандартные" натуральные числа (это такие числа, которые больше любого стандартного)


Я плохо в этом всём разбираюсь - но судя по тому как это звучит - не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:10 
Аватара пользователя
aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):
останется один единственный вид бесконечности вообще?

Единственный точно не останется. Мощность системы всех подмножеств множества $X$ больше мощности $X$. Эрго, система всех подмножеств $\mathbb{R}$ мощнее континуума, система всех подмножеств этой системы еще мощнее, и так далее. Имеем бесконечно возрастающую последовательность мощностей.

А наличие "нестандартных" чисел, насколько я понял, означает лишь, что $\mathbb{N}$ разбивается на два бесконечных (счетных) подмножества $A$ и $B$ таких, что всякий элемент $A$ больше всякого элемента $B$. В классической модели этого сделать нельзя, а тут - поди ж ты. Но мощность $\mathbb{N}$ при этом не переопределяется. Если я не прав, пусть уважаемые специалисты, меня поправят.

Да, и счетность с перечислимостью путать не надо.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:12 
Аватара пользователя
aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):
не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?
Равномощными разные кардинальные числа не станут. "Поплывут" вещи гораздо более важные, чем эти фантастические конструкции из бесконечностей. А именно, "плывёт" понятие вычислимости: Если нам говорят, что алгоритм останавливается через количество шагов, выражаемое "натуральным числом", то будет неприятно, если это натуральное число окажется нестандартным.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:15 
epros сейчас опять всех запутает. :-)
aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):
не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?
Понятия перечислимости, равномощности и т.п. — не арифметические (хоть и «кодируемые»). Но дело даже не в этом. Какой бы странной ни была модель теории, она все равно является моделью этой теории, а значит, в этой модели истинно все, что можно доказать в этой теории, т.е. в ней ничего никуда не «плывет». В необычной модели могут оказаться истинными некоторые неопровержимые утверждения (или ложными некоторые недоказуемые), но это не касается таких простых вопросов, о которых Вы говорите.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:18 
Anton_Peplov в сообщении #1006340 писал(а):
бесконечно возрастающую последовательность мощностей


А, спасибо, я значит криво понимал Континуум-гипотезу. Тогда вопрос по другому - получается что она потеряет смысл?

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:22 
Аватара пользователя
aa_dav в сообщении #1006338 писал(а):
Я плохо в этом всём разбираюсь - но судя по тому как это звучит - не означает ли что в таких "нестандартных" арифметиках понятие перечислимости "поплывёт" к тому что множество вещественных станет равномощно множеству натуральных и таким образом останется один единственный вид бесконечности вообще?
Понятие мощности вводится в теории множеств, а не в арифметике. Причём, при определении конечности и счётности имеется в виду конкретная модель натурального ряда в данной теории множеств (наименьшее индуктивное множество). Поэтому нужна не "нестандартная модель арифметики", а "нестандартная модель теории множеств". Но это всё всуе. Потому что все определения и теоремы теории множеств никак не зависят от модели.

Вообще, полезно помнить, что есть теория, в которой формулируются и доказываются всякие определения и теоремы, а есть модель теории, которая есть интерпретация этой теории. Теория о своих моделях ничего "не знает" и никак от них не зависит.

aa_dav в сообщении #1006344 писал(а):
А, спасибо, я значит криво понимал Континуум-гипотезу. Тогда вопрос по другому - получается что она потеряет смысл?
С какой стати? Просто в некоторых моделях континуум-гипотеза истинна, в других — ложна, и по этой причине в ZFC её нельзя ни опровергнуть, ни доказать.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:26 
aa_dav в сообщении #1006344 писал(а):
получается что она потеряет смысл?
Еще раз, в модели верно все, что верно (точнее, доказуемо) в теории. Все, что в теории имело смысл, будет иметь смысл и в модели и сохранит в ней все свои доказуемые свойства. Странности модели могут быть видны только «снаружи» этой модели, а внутри нее — все пучком. Но это всё не те вопросы, над которыми следует задумываться «неспециалистам» до того, как они решат начать серьезно изучать логику и теорию моделей. :-)

P.S. О, вот и Someone подоспел. Спасибо, коллега. :-)

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:29 
Ну да, в принципе понятно. Даже с такими "убернатуральными" можно вывести субмножество убернатуральных, которое окажется тем же что имели ввиду ранее и как бы опять весь вопрос в том лишь какой и куда мы вкладывали смысл.
Хорошо, спасибо.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:31 
Аватара пользователя
aa_dav в сообщении #1006344 писал(а):
А, спасибо, я значит криво понимал Континуум-гипотезу.

А сформулируйте-ка континуум-гипотезу. Тогда будет ясно, насколько прямо Вы ее понимаете.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:35 
aa_dav в сообщении #1006349 писал(а):
Ну да, в принципе понятно. Даже с такими "убернатуральными" можно вывести субмножество убернатуральных, которое окажется тем же что имели ввиду ранее и как бы опять весь вопрос в том лишь какой и куда мы вкладывали смысл.
Да, можно так сказать.
(Кажется, наш неспециалист-собеседник просек суть, которую мы пытались донести, употребляя умные слова и стараясь не показаться дураками в глазах коллег. Кто как хочет, а я начинаю немедленно собой гордиться.)

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение21.04.2015, 14:47 

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1006353 писал(а):
Кажется, наш неспециалист-собеседник просек суть, которую мы пытались донести, употребляя умные слова и стараясь не показаться дураками в глазах коллег. Кто как хочет, а я начинаю немедленно собой гордиться.


Но не стоит забывать, что без меня у вас бы этого не получилось! :)

Anton_Peplov в сообщении #1006350 писал(а):
А сформулируйте-ка континуум-гипотезу. Тогда будет ясно, насколько прямо Вы ее понимаете.


Не не, не стоит, я стесняюсь. Там было кое что похуже с пониманием как раз мощностей.

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение22.04.2015, 08:25 
epros в сообщении #1006325 писал(а):
Ну, как в теории множеств: Если принадлежит любому множеству, содержащему 0 и всех его последователей, то это натуральное число. На языке второго порядка записывается без проблем.
Так тут уже какие-то множества пошли — откуда, зачем?

 
 
 
 Re: Достаточные свойства для понятия "натуральное число"
Сообщение22.04.2015, 09:26 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #1006672 писал(а):
Так тут уже какие-то множества пошли — откуда, зачем?
Предикатный символ по-сути означает то же, что множество. Народ привык к слову "множество", поэтому когда так говорят, воспринимается легче.

 
 
 [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group