Достаточные свойства для понятия "натуральное число" alex_dorin

[alex_dorin]

Здравствуйте !
Каковы достаточные свойства для понятия "натуральное число" ?
Аксиома индукции в аксиомах Пеано фактически требует использования логики второго порядка.
Можно ли как-то обойтись логикой первого порядка ?

[AGu]

Ох... Очередной туман... Ну ведь непонятно же, о чем Вы спрашивате, совершенно непонятно. (Например, Вы в каком контексте — в арифметике, в какой-то ее модели, в теории множеств или вообще в исчислении?)

«Достаточное свойство для понятия натурального числа» — бессмысленное выражение.

«Аксиома индукции в аксиомах Пеано фактически требует использования логики второго порядка» — неправда, потому что это не аксиома, а схема аксиом, и не второго порядка, а первого (и Вы наверняка это знаете).

«Можно ли как-то обойтись логикой первого порядка ?» — разумеется да, так как до сих пор только ей и обходились.

Так уж получается: что Вы ни спросите — всегда как-то не по-человечески получается. Вас никто не понимает, а Ваши сообщения отправляются в вечный карантин. Так и будет продолжаться, пока Вы не научитесь ясно выражать свои мысли. Сочувствую...

[alex_dorin]

В книге А. Мостовского "Конструктивные множества и их приложения" на cтр. 14-15 приведено определение натурального числа, не требующее
логики 2-го порядка или схем аксиом или бесконечного количества аксиом, но я его не понял. Если можно, разъясните содержательно или укажите,
где почитать.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #1005997 писал(а):

В книге А. Мостовского "Конструктивные множества и их приложения" на cтр. 14-15 приведено определение натурального числа, не требующее логики 2-го порядка или схем аксиом или бесконечного количества аксиом, но я его не понял.

Вот это я понимаю, это нормальный вопрос.

Теперь ясно, что речь идет о теории множеств (самой обычной, классической, первого порядка) и об определении понятия натурального числа в рамках этой теории. Славно. И что именно там Вам не понятно? Тыкните в первое конкретное непонятное место.

[alex_dorin]

Постараюсь записать построения Мостовского на Tex, тогда можно говорить детально.

[alex_dorin]

epros в сообщении #1006069 писал(а):

В этом смысле однозначность определения натуральных чисел конечно доказана. Вот только это доказательство (как и доказательство существования драконов) не является конструктивным.

Где почитать об этом доказательстве в логике 2-го порядка ?

[alex_dorin]

C большим интересом прочитал исчерпывающие разъяснения AGu, Someone.
Однако построения Мостовского тяжелы для понимания. Ему удалось не вводить аксиому индукции и остаться в рамках
первопорядковой логики. Может быть есть и другие такие построения ?
Подскажите литературу.
Еще раз благодарность гуру за усилия в разъяснении.

[epros]

alex_dorin в сообщении #1006360 писал(а):

Ему удалось не вводить аксиому индукции и остаться в рамках
первопорядковой логики.

Необязательно вводить схему индукции, если уже есть аксиома бесконечности, схема выделения и т.п.

[alex_dorin]

Схема выделения - это же по сути бесконечное множество аксиом определенной формы - выражений в логике 1-го порядка.
Я часто использую логические пруверы для проведения доказательств в логике 1-го порядка. И тут возникают определенные проблемы
со схемами аксиом. Epros - я благодарен Вам за разъяснения, и , подскажите, пожалуйста литературу по воросу.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #1006360 писал(а):

Однако построения Мостовского тяжелы для понимания. Ему удалось не вводить аксиому индукции и остаться в рамках первопорядковой логики. Может быть есть и другие такие построения ? Подскажите литературу.

Вы так говорите, будто Мостовский — большой оригинал. На самом деле он следует давно сложившимся стандартам и излагает самую что ни на есть классическую аксиоматику теории множеств и традиционную систему определений. Откройте любой список аксиом теории множеств в любом учебнике или на любом сайте, и Вы не увидите там аксиому индукции. Принцип индукции для множества натуральных чисел, определяемого в рамках теории множеств, является не аксиомой, а теоремой, т.е. выводится из других аксиом. Любые «другие построения» будут отличаться лишь мелочами и стилем изложения, так что можете выбрать на вкус любой учебник. Чем древнее учебник, тем больше в нем занудства, больше разжевывания технических моментов и больше отвлечений на разнообразные нюансы, но аксиомы и ключевые определения везде одни и те же — по крайней мере, с точностью до логической эквивалентности. Так или иначе множество натуральных чисел определяется как наименьшее по включению индуктивное множество, благодаря чему принцип индукции оказывается фактически прямым следствием определения.

alex_dorin в сообщении #1006411 писал(а):

возникают определенные проблемы со схемами аксиом

Такова ваша судьба пруверская. Если Вы надеетесь в какой-нибудь книжке найти список аксиом теории множеств, не содержащий схем аксиом, то я вынужден Вас огорчить: не найдете. Теория множеств под названием ZF(C) не поддается аксиоматизации посредством конечного набора аксиом. Если страсть как хочется избежать схем, переходите на теорию классов фон Неймана — Гёделя — Бернайса NGB, она имеет конечную аксиоматику.

[alex_dorin]

Конечно, ZF(C) - не конечно аксиоматизируемая, но часто можно подобрать достаточное для доказательства конкретной гипотезы подмножество аксиом.
NBG - конечно аксиоматизируемая, но осложняется использованием переменных 2-х сортов.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #1006468 писал(а):

NBG - конечно аксиоматизируемая, но осложняется использованием переменных 2-х сортов.

Можно обойтись одним сортом, в нужные места вставляя формулу ${\rm IsASet}(x):=(\exists\,y)(x\in y)$.

[alex_dorin]

arseniiv в сообщении #1006672 писал(а):

Так тут уже какие-то множества пошли — откуда, зачем?

Мостовский как раз и определил "целое положительное число" в теории множеств. Это как раз и интересует.
Каждое определение понятно, не понятно почему будут для таких "целых положительныхе чисел" выполняться общепринятые аксиомы Пеано.

[AGu]

alex_dorin в сообщении #1006696 писал(а):

не понятно почему будут для таких "целых положительныхе чисел" выполняться общепринятые аксиомы Пеано.

На мой взгляд, все акиомы Пеано легко доказываются. Задавайте конкретные вопросы, разберемся.

[alex_dorin]

"Последователь" - это операция из индивидной переменной в индивидную переменную, то что обычно выражают функциональным символом, для которого
нужно задать его (функционального символа) аксиомы.