Достаточные свойства для понятия "натуральное число" alex_dorin

[arseniiv]

Это относится к трудностям с доказательством аксиом Пеано в теории множеств?

Если так, то в том и дело, что не надо — мы же их доказываем. У нас, можно считать, появились дополнительные (определяющие) аксиомы $0 = \varnothing$ и $\forall n.\; n' = n\cup\{n\}$. Теперь можно, например, доказать формулу $\forall n.\; 0\ne n'$ (в общем случае нам стоило бы доказывать формулу $\forall n.\; n\in\mathbb N\to0\ne n'$, но тут нам везёт — можем доказать более сильную). Ещё раз, с какими конкретно аксиомами (три «основные» включая эту, две сложения, две умножения, сколько там для порядка и т. п. — только сначала, конечно, надо будет добавить определяющие аксиомы и для них) что конкретно неясно?

[alex_dorin]

Не понятно как соотносятся эти соображения с построением Мостовского.

[arseniiv]

Ну подробнее же, пожалуйста! Я даже перечитал предыдущую страницу, но контекста не хватает.

[alex_dorin]

На стр 14-15 Мостовского "Конструктивные множества и их приложения" совершенно формально без явной операции последователь, без явного указания на аксиому индукции делается построение предиката "целое положительное число". Как доказать , что это равносильно аксиоматике Пеано ? (или не слабее)

[arseniiv]

Вот это уже другое дело! (Хотя стремиться всё равно есть куда.)

alex_dorin в сообщении #1006983 писал(а):

без явной операции последователь, без явного указания на аксиому индукции делается построение предиката "целое положительное число"

Да, там написано «$x$ — натуральное число $:\Leftrightarrow x$ — ординал, вполне упорядочиваемый $\ni$». Зачем для такого определения нужна индукция или последователь и как они туда должны входить?

alex_dorin в сообщении #1006983 писал(а):

Как доказать , что это равносильно аксиоматике Пеано ? (или не слабее)

Что равносильно? Определение натурального числа? Как минимум, мы же не ввели ещё определений последователя, сложения и умножения. (А вообще вопрос всё же поставлен странно.) А доказать надо аксиомы Пеано и ничего больше.

[AGu]

Я почитал свежую дискуссию... Грустно.

alex_dorin, Вы продолжаете изъясняться настолько косноязычно и скупо, что становится искренне жаль Ваших собеседников. Вы над ними фактически издеваетесь.

Основная Ваша проблема в том, что Вы не можете четко сформулировать проблему. Поскольку не появилось ни одного конкретного вопроса (ни одного!), я вынужден предположить что... как бы это сказать по-деликатнее... Раз есть какая-то проблема, но нет конкретных мелких вещей, которые Вы не понимаете, — значит, Вы просто ничего не понимаете. Видимо, так оно и есть.

На мой взгляд, Вам нужно освоить основы теории моделей — на уровне ключевых понятий: интерпретация сигнатуры, значения термов, истинность формул. После этого Вам нужно определить интерпретации всех символов сигнатуры арифметики Пеано на множестве натуральных чисел (определенном в рамках теории множеств — том самом, по Мостовскому или кому угодно другому). И наконец, Вам нужно доказать (в рамках теории множеств), что в полученной системе истинны все аксиомы арифметики Пеано.

Вот как стоит Ваша «проблема». Но это при условии, что Вас интересует именно эта проблема. В этом я не уверен. Ваша речь настолько невнятна, что я не удивлюсь, если окажется, что Вас интересует нечто совершенно иное.

Если я всё же угадал, то, пожалуйста, последуйте тем инструкциями. А мы Вам поможем. При условии, конечно, что Вы постараетесь над нами не издеваться.