Непрерывность функции.

[Monster]

Какой пример можно привести, чтобы доказать, что из непрерывности необязательно следует открытость образов открытых множеств? Я интуитивно понимаю, что такой пример должен существовать, но не могу его построить.

[nnosipov]

Параболу нарисуйте какую-нибудь и посмотрите на окрестность её вершины.

[Hasek]

Рассмотрите отображение из множества, наделённого дискретной топологией, в само себя, но уже с антидискретной топологией.

[Monster]

nnosipov в сообщении #1005844 писал(а):

Параболу нарисуйте какую-нибудь и посмотрите на окрестность её вершины.

Спасибо! Получится полуинтервал с нулём на одном из концов, верно?

-- 20.04.2015, 14:29 --

Hasek в сообщении #1005849 писал(а):

Рассмотрите отображение из множества, наделённого дискретной топологией, в само себя, но уже с антидискретной топологией.

К сожалению, я не обладаю достаточно глубокими знаниями в теме, чтобы вас понять.

[nnosipov]

Monster в сообщении #1005852 писал(а):

верно?

Да, имелось в виду это.

[alcoholist]

Monster
можно и отрезок: $\sin\Bigl((-10;10)\Bigr)=[-1;1]$

[Hasek]

Monster в сообщении #1005852 писал(а):

К сожалению, я не обладаю достаточно глубокими знаниями в теме, чтобы вас понять.

Если на множестве задана дискретная топология, то все его подмножества являются открытыми (и замкнутыми тоже). Если антидискретная -- открытые (и замкнутые) только само множество и пустое. Следовательно, любое отображение из множества с дискретной топологией в множество с антидискретной топологией непрерывно, поскольку прообраз любого открытого множества открыт. Но образ уже не всякого открытого множества будет открытым. Вот что я хотел сказать.