Задача про стакан, плывущий в воде

[lantza]

Цитата:

На поверхности жидкость плотностью $\rho$ плавает цилиндрический тонкостенный стакан, наполовину погруженный в жидкость. На какую глубину погрузится стакан в жидкость, если его поставить на поверхность жидкости дном вверх? Высота стакана $h$, атмосферное давление $p_0$.

В положении равновесия дном вниз имеем $mg=\rho g S\frac{1}{2}h$ ($S$ - площадь поперечного сечения цилиндра), откуда давление веса $p_\text{в}=\dfrac{mg}{S}=\frac{1}{2}\rho g h$.
В начальный момент газ в стакане имел объем $V_0=Sh$ и давление $p_0$. Газовый процесс - изотермический.
Пусть $\Delta h$ - глубина погружения стакана.

(Картиночка)

Тогда объем газа стал равен $V_1=S(h-\Delta h)$.

Подскажите, как можно определить давление газа $p_2$ после погружения в воду с учетом веса стакана? Понятно, что относительно столба $\Delta h$ в стакане жидкость будет удерживаться, с одной стороны, гидростатическим и атмосферным давленим снизу $p_\text{н}=\rho g \Delta h$, и с другой - давлением газа сверху. Но как его найти - дело-то непростое, с учетом веса стакана.

[GraNiNi]

lantza в сообщении #1004446 писал(а):

тонкостенный стакан,

Толщина стенок и дна - одинакова?
Если как на рисунке, то данных не хватает.
Или считаем его бесконечно тонким?

[DimaM]

Подсказка: уровень воды внутри стакана будет отличаться от уровня снаружи.
Подсказка 2: давление в воде на одной и той же глубине внутри стакана и снаружи одинаковое.

[Sender]

Можно ещё рассмотреть вопрос, какими силами в равновесии удерживается сам стакан.

[lantza]

DimaM в сообщении #1004471 писал(а):

Подсказка: уровень воды внутри стакана будет отличаться от уровня снаружи.

Воу, до меня что-то не дошло.

DimaM в сообщении #1004471 писал(а):

Подсказка 2: давление в воде на одной и той же глубине внутри стакана и снаружи одинаковое.

Там получается, что стакан погрузится на высоту $\Delta h$, а вода еще поднимется на какой-то уровень $\Delta h_2$ относительно поверхности. Но вопрос в том, на какую глубину?

Sender в сообщении #1004474 писал(а):

Можно ещё рассмотреть вопрос, какими силами в равновесии удерживается сам стакан.

Сила тяжести и та же самая архимедова сила? Неужели вода поднимется на высоту $\Delta h_2=\dfrac{h}{2}$ относительно поверхности? Но почему?

[Munin]

lantza в сообщении #1004554 писал(а):

Там получается, что стакан погрузится на высоту $\Delta h$, а вода еще поднимется на какой-то уровень $\Delta h_2$ относительно поверхности.

Уровень воды в стакане будет ниже уровня воды снаружи стакана. Пузырь воздуха в стакане будет сжат. Именно это и позволит ему давить снизу на дно стакана, и поддерживать его.

[lantza]

Munin в сообщении #1004585 писал(а):

Уровень воды в стакане будет ниже уровня воды снаружи стакана. Пузырь воздуха в стакане будет сжат. Именно это и позволит ему давить снизу на дно стакана, и поддерживать его.

А, я понял. Это из-за этого, что если бы вода поднялась вверх, ее гидростатическое давление (плюс давление газа) было бы выше гидростатического давления снаружи воды, и как бы снаружи вода "поднялась" бы, но это не так.

Но все еще остался вопрос, на какую же глубину $\Delta h_2$ спустится вода в стакане? Я слишком что-то не понимаю.

[Munin]

lantza в сообщении #1004595 писал(а):

Но все еще остался вопрос, на какую же глубину $\Delta h_2$ спустится вода в стакане?

О, настолько простые вещи разжёвывать здесь нельзя. Подпадает под правила о "помощи халявщикам". Надо подталкивать спрашивающего к тому, чтобы он сам разобрался.

[lantza]

Munin в сообщении #1004600 писал(а):

О, настолько простые вещи разжёвывать здесь нельзя. Подпадает под правила о "помощи халявщикам". Надо подталкивать спрашивающего к тому, чтобы он сам разобрался.

Хорошо.
На погруженный стакан действуют архимедова сила, сила тяжести и сила давления со стороны газа. Сила давления газа на стакан в силу симметрии всех четырех стенок можно считать равным нулю. Тогда будет $mg=\rho g S(\Delta h-\Delta h_2)$. Из начального условия имеем $\rho g S(\Delta h-\Delta h_2)=\rho g S \frac{1}{2}h$, откуда $\Delta h-\Delta h_2=\frac{1}{2}h$. Верно?

[amon]

lantza в сообщении #1004606 писал(а):

На погруженный стакан действуют архимедова сила

Про Архимедову силу, действующую на стакан без дна (перевернутый) по-подробнее, пожалуйста!

[lantza]

amon в сообщении #1004627 писал(а):

Про Архимедову силу, действующую на стакан без дна (перевернутый) по-подробнее, пожалуйста!

Как я понимаю, архимедова сила пропорциональна объему воды, которая находится внутри стакана (ее высота будет равна $\Delta h-\Delta h_2$).

-- 17.04.2015, 00:35 --

Ах, да, у меня немножко поменялось значение буквы. $\Delta h_2$ - это расстояние от поверхности внешней воды до поверхности воды, находящийся в стакане. Вот рисуночек.

[amon]

А если дно у стакана убрать - куда Архимедова сила денется?

[lantza]

amon в сообщении #1004631 писал(а):

А если дно у стакана убрать - куда Архимедова сила денется?

Эм, она будет на оставшихся стенках стакана и будет зависеть от их объема погруженной части.
Хм.
Что-то уже совсем не могу разобраться.

[amon]

Если дно убрать, то стакан утонет - так ведь? Значит, что-то другое держит стакан на поверхности. Что?

[lantza]

amon в сообщении #1004642 писал(а):

Если дно убрать, то стакан утонет - так ведь? Значит, что-то другое держит стакан на поверхности. Что?

Давление газа, да.