Уровни Ландау и теория групп

[Kirill_Sal]

Получается, что только в случае однородного поля операторы рождения и уничтожения будут лестничными операторами? Стоит нам сделать его неоднородным и рождение / уничтожение квазичастицы перестает повышать / понижать уровень энергии на единицу. На алгебраическом языке это означало бы, что нарушается изоморфизм фазового пространства $\Phi=(P,Q)$ и пространства чисел заполнения (назовем его $\Omega$).
Например, для уровня энергии вида $|n^2\rangle$, оператор рождения действует следующим образом:

$a|n^2\rangle\sim|n^2+n+1\rangle\neq|n^2+1\rangle$

На физическом уровне строгости мы можем говорить, что квазичастица уже не переносит элементарный квант энергии $\hbar\omega_{H}$ и, более того, переходы при принятии электроном квазичастицы зависят от уровня, на котором он находился. Если я правильно все понял, то отсюда можно получить массу интереснейших следствий.

Но с учебной точки зрения важнее понять, как в явном виде связано наличие / отсутствие группы симметрии

$SO(2)\times{T_{xy}}$

этой системы с наличием / отсутствием изоморфизма

$\Phi\cong{\Omega}$.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1003136 писал(а):

Получается, что только в случае однородного поля операторы рождения и уничтожения будут лестничными операторами?

Я не знаю, как вы вообще собираетесь в неосцилляторном случае вводить понятия операторов рождения и уничтожения. Как в таких случаях вводятся лестничные операторы - я описал.

Кстати, надеюсь, вы не путаете осциллятор квантовой механики и частицу КТП. Уравнения у них одинаковые, но физическая интерпретация одноимённых величин - разная.

[Kirill_Sal]

Подождите. Давайте для простоты картины рассмотрим осциллятор. При наличие ангармонических поправок их спокойно можно записать через операторы рождения и уничтожения вида:

$a=(\hat{p}-i\omega\hat{q})/\sqrt{2\omega}$,

$\hat{a}^{+}=(\hat{p}+i\omega\hat{q})/\sqrt{2\omega}$

Соответственно поправка к гамильтониану:

$\delta\hat{H}=\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{+})^3$

Результат можно обобщить на более сложные случаи. То есть, проще говоря, операторы рождения и уничтожения вводятся раз и навсегда для гармонического осциллятора, а все поправки - определяются через них. Однако, т.к.в уровнях энергии появляются слагаемые вида $n^2$, то $\hat{a}$, $\hat{a}^+$ уже не будут лестничными.

Поясним это.

Для гармонического осциллятора о.р. и о.у. действуют следующим образом:

$a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$

$a^{+}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$

(или наоборот, точно не помню, но суть не меняет).

Теперь для ангармонического осциллятора их действие на волновую функцию будет более сложным, тем не менее они все равно называются операторами рождения и уничтожения.

[Munin]

Ну вот, вы и разобрались в разнице между этими терминами.

Правда... вот что такое $\omega$ в случае произвольного потенциала (а не полученного возмущением к гармоническому)? Просто какая-то константа? Ну, можно так...

[amon]

Можно так, а можно ввести операторы $b_n$, и написать $H=\sum\limits_{n}\varepsilon_nb_n^+b_n$ ($n$ как-то нумерует состояния). Тогда операторы $b$ должны раскладываться по операторам $a$. Это разложение эквивалентно разложению точной волновой функции по функциям гармонического осциллятора.

[Kirill_Sal]

Уточните вопрос. Вводить $\omega_{H}$ для Кулоновского поля смысла нет. А для произвольного магнитного поля - это частота в нулевом приближении, т.е.когда мы считаем $\vec{H}\approx\operatorname{const}$.

-- 12.04.2015, 23:05 --

amon
Вы снова в двух словах сказали то, что я расписываю на двух листах

-- 12.04.2015, 23:28 --

Повторю вопрос.
Если для магнитного поля аналогично осциллятору раз и навсегда определены операторы рождения и уничтожения, то разница между однородным и неоднородным полем заключается в том, что в неоднородном поле гамильтониан электрона уже не будет линеен по каждому из этих операторов. Тогда изоморфизм $\Phi\cong\Omega$ (фазовое пространство - пространство чисел заполнения) вообще говоря уже не существует.
Правильно или не правильно я рассуждаю?

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1003206 писал(а):

Правильно или не правильно я рассуждаю?

Либо неправильно, либо - непонятно. Любой гамильтониан квантовой механики, включая гамильтониан частицы в магнитном поле, можно записать в виде $H=\sum\limits_{n}\varepsilon_nb_n^+b_n$. Построение такого гамильтониана эквивалентно точному решению задачи. Тогда по операторам $b$ можно построить операторы $a$, которые, в свою очередь, выражаются через $\hat{p}$ и $\hat{q}$. Видимо, это Вы называете изоморфизмом фазовых пространств. (По-моему, это - унитарная эквивалентность операторов).

[Kirill_Sal]

Изоморфизм пространств должен сохранять их линейную структуру.
По операторам $b$ можно построить операторы $a$, а затем - $p$ и $q$, вот только связь эта, например, в случае того же ангармонического осциллятора будет нелинейной и не будет сохранять линейную структуру. Поясняю на все том же примерн.
Для гармонического осциллятора $\hat{H}(\hat{a},\hat{a}^{+})$ линеен по $\hat{a}$ и по $\hat{a}^{+}$. В указанном вами представлении линейное свойство заложено по определению. Соответственно, переход от одного представления к другому сохраняет линейное свойство, - изоморфизм.
А для ангармонического осциллятора это отнюдь не верно: в представление $\hat{H}(\hat{a},\hat{a}^{+})$ линейное свойство не сохраняется.

[Kirill_Sal]

Не знаю, интересно это кому-либо или нет и был ли я прав насчет изоморфизмов, но о том, чем принципиально отличается ангармонический осциллятор от гармонического с точки зрения операторов рождения и уничтожения, написано в книге Фейнмана "Статистическая механика" страницы 186-187.
Приведенные им рассуждения несложно обобщить на задачу с магнитным полем.

[peregoudov]

Честно скажу: не понял, чего хочет автор темы, но сам в свое время баловался с гамильтонианом в однородном магнитном поле, поэтому просто расскажу о результатах.

Группа симметрии там --- не совсем движения плоскости. Коммутационные соотношения такие

$$ [I_1,I_2]=-iB,\quad [I_1,I_3]=-iI_2,\quad [I_2,I_3]=iI_1. $$

Явный вид интегралов движения зависит от используемой калибровки. В симметричной калибровке ${\bf A}=(-By/2,Bx/2)$ интегралы имеют вид

$$ I_1=p_x-By/2,\quad I_2=p_y+Bx/2,\quad I_3=xp_y-yp_x. $$

В другие калибровки они могут быть преобразованы следующим образом $I_{1,2,3}\to e^{if}I_{1,2,3}e^{-if}$, где $f$ --- та же функция, что преобразует потенцтал, ${\bf A}\to{\bf A}+\nabla f$.

Выражение гамильтониана $H=({\bf p}-{\bf A})^2\!/2$ через интегралы имеет вид

$$ H=(I_1^2+I_2^2)/2-BI_3. $$

Поднимающими и опускающими операторами являются $K_\pm=(p_x+By/2)\pm i(p_y-Bx/2)$, коммутаторы

$$ [H,K_\pm]=-BK_\pm. $$

Уровни энергии на самом деле вырождены с бесконечной кратностью, поскольку состояния характеризуются не только значением гамильтониана, но и значением какого-то одного из интегралов $I_{1,2,3}$.

[Kirill_Sal]

Однородное поле на то и однородное, что описание системы не зависит от того, в какой точке она находится. Это группа движения плоскости, но могут быть и другие симметрии, - я ими не занимался.
Я с самого начала сам не знал, чего хотел, но в ходе дискуссии понял: я хочу связать факт наличия группы движения плоскости (однородное поле) с определенным свойством оператора $\hat{H}$ в формализме вторичного квантования, которое портится в неоднородном поле.
И мой результат вкратце такой: если формально ввести операторы рождения и уничтожения квазичастиц-переносчиков магнитного поля, то в однородном поле для системы их число сохраняется, а в неоднородном - нет.
Тема не вызвала особого интереса, поэтому идеи док-ва я решил не приводить. Скажу только, что если рассуждать строго, то задача математически не простая.
А нестрого основную идею можно уловить в вышеупомянутой книге Фейнмана с.186-187

-- 14.04.2015, 20:03 --

Эти интегралы известны. Они в ЛЛ обсуждаются в другой калибровке.
Бесконечная кратность вырождения связана с тем, что выражение для $E_{n}$ не содержит (в калибровке Ландау) явно величины $p_{x}$, пробегающей непрерывный ряд значений. Это тоже есть в его книге.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1003886 писал(а):

И мой результат вкратце такой: если формально ввести операторы рождения и уничтожения квазичастиц-переносчиков магнитного поля

Покажите, как вы их вводите. А то непонятно.

[Kirill_Sal]

В калибровке Ландау гамильтониан имеет:

$\hat{H}=(1/2m)[(\hat{p_{x}}+eHy/c)^2+\hat{p_{y}}^2]$

Вводим операторы $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$ следующим образом:

$\hat{a}=(1/\sqrt{2m\hbar\omega_{H}})(\hat{p_{x}}+eHy/c+i\hat{p_{y}})$,

$\hat{a}^{+}=(1/\sqrt{2m\hbar\omega_{H}}(\hat{p_{x}}+eHy/c-i\hat{p_{y}})$

С помощью этих операторов гамильтониан записывается в виде:

$\hat{H}=(\hbar\omega_{H}/2)(\hat{a}\hat{a}^{+}+\hat{a}^{+}\hat{a})$

-- 14.04.2015, 22:22 --

Немного другие формулы для симметричной калибровки получил peregoudov.
Из физических соображений ясно, что от калибровки векторного потенциала собственные значения операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$ не зависят.
Кстати, можно взглянуть на этот факт с другой стороны: существуют определенные (однозначно не любые) линейные преобразования фазового пространства $\hat{P}$, $\hat{Q}$, не изменяющие собственных значений операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$. Существование таких преобразований связано с калибровочной инвариантностью векторного потенциала $\vec{A}$.

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1003951 писал(а):

собственных значений операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$.

Обращаю Ваше внимание на то, что оператор $\hat{a}$ не самосопряженный, посему, бабушка надвое сказала, что у него (и у $\hat{a}^{+}$) вообще есть хоть какие собственные значения. Собственные значения самосопряженного оператора $\hat{a}^{+}\hat{a}$ всегда одни и те же целые числа (почему?), независимо от того, как строился $\hat{a}$ из $\hat{p}$ из $\hat{q}$ (если правильно строился).

[Kirill_Sal]

amon в сообщении #1003983 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1003951 писал(а):

собственных значений операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$.

Обращаю Ваше внимание на то, что оператор $\hat{a}$ не самосопряженный, посему, бабушка надвое сказала, что у него (и у $\hat{a}^{+}$) вообще есть хоть какие собственные значения. Собственные значения самосопряженного оператора $\hat{a}^{+}\hat{a}$ всегда одни и те же целые числа (почему?), независимо от того, как строился $\hat{a}$ из $\hat{p}$ из $\hat{q}$ (если правильно строился).

Из алгебры я помню, что корни характеристического полинома эрмитовой матрицы не зависят от выбора базиса.

А что касается операторов $a$, $a^+$, то при произвольном преобразовании они просто могут потерять свой смысл. Замените в них, например, $y$ на $-y$ и они перестанут соответствовать реальному магнитному полю.