2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 20:22 
Заморожен


24/06/14
358
Получается, что только в случае однородного поля операторы рождения и уничтожения будут лестничными операторами? Стоит нам сделать его неоднородным и рождение / уничтожение квазичастицы перестает повышать / понижать уровень энергии на единицу. На алгебраическом языке это означало бы, что нарушается изоморфизм фазового пространства $\Phi=(P,Q)$ и пространства чисел заполнения (назовем его $\Omega$).
Например, для уровня энергии вида $|n^2\rangle$, оператор рождения действует следующим образом:

$a|n^2\rangle\sim|n^2+n+1\rangle\neq|n^2+1\rangle$

На физическом уровне строгости мы можем говорить, что квазичастица уже не переносит элементарный квант энергии $\hbar\omega_{H}$ и, более того, переходы при принятии электроном квазичастицы зависят от уровня, на котором он находился. Если я правильно все понял, то отсюда можно получить массу интереснейших следствий.

Но с учебной точки зрения важнее понять, как в явном виде связано наличие / отсутствие группы симметрии

$SO(2)\times{T_{xy}}$

этой системы с наличием / отсутствием изоморфизма

$\Phi\cong{\Omega}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #1003136 писал(а):
Получается, что только в случае однородного поля операторы рождения и уничтожения будут лестничными операторами?

Я не знаю, как вы вообще собираетесь в неосцилляторном случае вводить понятия операторов рождения и уничтожения. Как в таких случаях вводятся лестничные операторы - я описал.

Кстати, надеюсь, вы не путаете осциллятор квантовой механики и частицу КТП. Уравнения у них одинаковые, но физическая интерпретация одноимённых величин - разная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория груп
Сообщение12.04.2015, 22:37 
Заморожен


24/06/14
358
Подождите. Давайте для простоты картины рассмотрим осциллятор. При наличие ангармонических поправок их спокойно можно записать через операторы рождения и уничтожения вида:

$a=(\hat{p}-i\omega\hat{q})/\sqrt{2\omega}$,

$\hat{a}^{+}=(\hat{p}+i\omega\hat{q})/\sqrt{2\omega}$

Соответственно поправка к гамильтониану:

$\delta\hat{H}=\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{+})^3$

Результат можно обобщить на более сложные случаи. То есть, проще говоря, операторы рождения и уничтожения вводятся раз и навсегда для гармонического осциллятора, а все поправки - определяются через них. Однако, т.к.в уровнях энергии появляются слагаемые вида $n^2$, то $\hat{a}$, $\hat{a}^+$ уже не будут лестничными.

Поясним это.

Для гармонического осциллятора о.р. и о.у. действуют следующим образом:

$a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$

$a^{+}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$

(или наоборот, точно не помню, но суть не меняет).

Теперь для ангармонического осциллятора их действие на волновую функцию будет более сложным, тем не менее они все равно называются операторами рождения и уничтожения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну вот, вы и разобрались в разнице между этими терминами.

Правда... вот что такое $\omega$ в случае произвольного потенциала (а не полученного возмущением к гармоническому)? Просто какая-то константа? Ну, можно так...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Можно так, а можно ввести операторы $b_n$, и написать $H=\sum\limits_{n}\varepsilon_nb_n^+b_n$ ($n$ как-то нумерует состояния). Тогда операторы $b$ должны раскладываться по операторам $a$. Это разложение эквивалентно разложению точной волновой функции по функциям гармонического осциллятора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 23:04 
Заморожен


24/06/14
358
Уточните вопрос. Вводить $\omega_{H}$ для Кулоновского поля смысла нет. А для произвольного магнитного поля - это частота в нулевом приближении, т.е.когда мы считаем $\vec{H}\approx\operatorname{const}$.

-- 12.04.2015, 23:05 --

amon
:D Вы снова в двух словах сказали то, что я расписываю на двух листах

-- 12.04.2015, 23:28 --

Повторю вопрос.
Если для магнитного поля аналогично осциллятору раз и навсегда определены операторы рождения и уничтожения, то разница между однородным и неоднородным полем заключается в том, что в неоднородном поле гамильтониан электрона уже не будет линеен по каждому из этих операторов. Тогда изоморфизм $\Phi\cong\Omega$ (фазовое пространство - пространство чисел заполнения) вообще говоря уже не существует.
Правильно или не правильно я рассуждаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Kirill_Sal в сообщении #1003206 писал(а):
Правильно или не правильно я рассуждаю?

Либо неправильно, либо - непонятно. Любой гамильтониан квантовой механики, включая гамильтониан частицы в магнитном поле, можно записать в виде $H=\sum\limits_{n}\varepsilon_nb_n^+b_n$. Построение такого гамильтониана эквивалентно точному решению задачи. Тогда по операторам $b$ можно построить операторы $a$, которые, в свою очередь, выражаются через $\hat{p}$ и $\hat{q}$. Видимо, это Вы называете изоморфизмом фазовых пространств. (По-моему, это - унитарная эквивалентность операторов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение13.04.2015, 00:04 
Заморожен


24/06/14
358
Изоморфизм пространств должен сохранять их линейную структуру.
По операторам $b$ можно построить операторы $a$, а затем - $p$ и $q$, вот только связь эта, например, в случае того же ангармонического осциллятора будет нелинейной и не будет сохранять линейную структуру. Поясняю на все том же примерн.
Для гармонического осциллятора $\hat{H}(\hat{a},\hat{a}^{+})$ линеен по $\hat{a}$ и по $\hat{a}^{+}$. В указанном вами представлении линейное свойство заложено по определению. Соответственно, переход от одного представления к другому сохраняет линейное свойство, - изоморфизм.
А для ангармонического осциллятора это отнюдь не верно: в представление $\hat{H}(\hat{a},\hat{a}^{+})$ линейное свойство не сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение13.04.2015, 22:40 
Заморожен


24/06/14
358
Не знаю, интересно это кому-либо или нет и был ли я прав насчет изоморфизмов, но о том, чем принципиально отличается ангармонический осциллятор от гармонического с точки зрения операторов рождения и уничтожения, написано в книге Фейнмана "Статистическая механика" страницы 186-187.
Приведенные им рассуждения несложно обобщить на задачу с магнитным полем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение14.04.2015, 19:36 


10/03/07
478
Москва
Честно скажу: не понял, чего хочет автор темы, но сам в свое время баловался с гамильтонианом в однородном магнитном поле, поэтому просто расскажу о результатах.

Группа симметрии там --- не совсем движения плоскости. Коммутационные соотношения такие
$$
[I_1,I_2]=-iB,\quad [I_1,I_3]=-iI_2,\quad [I_2,I_3]=iI_1.
$$
Явный вид интегралов движения зависит от используемой калибровки. В симметричной калибровке ${\bf A}=(-By/2,Bx/2)$ интегралы имеют вид
$$
I_1=p_x-By/2,\quad I_2=p_y+Bx/2,\quad I_3=xp_y-yp_x.
$$
В другие калибровки они могут быть преобразованы следующим образом $I_{1,2,3}\to e^{if}I_{1,2,3}e^{-if}$, где $f$ --- та же функция, что преобразует потенцтал, ${\bf A}\to{\bf A}+\nabla f$.

Выражение гамильтониана $H=({\bf p}-{\bf A})^2\!/2$ через интегралы имеет вид
$$
H=(I_1^2+I_2^2)/2-BI_3.
$$

Поднимающими и опускающими операторами являются $K_\pm=(p_x+By/2)\pm i(p_y-Bx/2)$, коммутаторы
$$
[H,K_\pm]=-BK_\pm.
$$

Уровни энергии на самом деле вырождены с бесконечной кратностью, поскольку состояния характеризуются не только значением гамильтониана, но и значением какого-то одного из интегралов $I_{1,2,3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение14.04.2015, 19:58 
Заморожен


24/06/14
358
Однородное поле на то и однородное, что описание системы не зависит от того, в какой точке она находится. Это группа движения плоскости, но могут быть и другие симметрии, - я ими не занимался.
Я с самого начала сам не знал, чего хотел, но в ходе дискуссии понял: я хочу связать факт наличия группы движения плоскости (однородное поле) с определенным свойством оператора $\hat{H}$ в формализме вторичного квантования, которое портится в неоднородном поле.
И мой результат вкратце такой: если формально ввести операторы рождения и уничтожения квазичастиц-переносчиков магнитного поля, то в однородном поле для системы их число сохраняется, а в неоднородном - нет.
Тема не вызвала особого интереса, поэтому идеи док-ва я решил не приводить. Скажу только, что если рассуждать строго, то задача математически не простая.
А нестрого основную идею можно уловить в вышеупомянутой книге Фейнмана с.186-187

-- 14.04.2015, 20:03 --

Эти интегралы известны. Они в ЛЛ обсуждаются в другой калибровке.
Бесконечная кратность вырождения связана с тем, что выражение для $E_{n}$ не содержит (в калибровке Ландау) явно величины $p_{x}$, пробегающей непрерывный ряд значений. Это тоже есть в его книге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение14.04.2015, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #1003886 писал(а):
И мой результат вкратце такой: если формально ввести операторы рождения и уничтожения квазичастиц-переносчиков магнитного поля

Покажите, как вы их вводите. А то непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение14.04.2015, 22:08 
Заморожен


24/06/14
358
В калибровке Ландау гамильтониан имеет:

$\hat{H}=(1/2m)[(\hat{p_{x}}+eHy/c)^2+\hat{p_{y}}^2]$

Вводим операторы $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$ следующим образом:

$\hat{a}=(1/\sqrt{2m\hbar\omega_{H}})(\hat{p_{x}}+eHy/c+i\hat{p_{y}})$,

$\hat{a}^{+}=(1/\sqrt{2m\hbar\omega_{H}}(\hat{p_{x}}+eHy/c-i\hat{p_{y}})$

С помощью этих операторов гамильтониан записывается в виде:

$\hat{H}=(\hbar\omega_{H}/2)(\hat{a}\hat{a}^{+}+\hat{a}^{+}\hat{a})$

-- 14.04.2015, 22:22 --

Немного другие формулы для симметричной калибровки получил peregoudov.
Из физических соображений ясно, что от калибровки векторного потенциала собственные значения операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$ не зависят.
Кстати, можно взглянуть на этот факт с другой стороны: существуют определенные (однозначно не любые) линейные преобразования фазового пространства $\hat{P}$, $\hat{Q}$, не изменяющие собственных значений операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$. Существование таких преобразований связано с калибровочной инвариантностью векторного потенциала $\vec{A}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение14.04.2015, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Kirill_Sal в сообщении #1003951 писал(а):
собственных значений операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$.

Обращаю Ваше внимание на то, что оператор $\hat{a}$ не самосопряженный, посему, бабушка надвое сказала, что у него (и у $\hat{a}^{+}$) вообще есть хоть какие собственные значения. Собственные значения самосопряженного оператора $\hat{a}^{+}\hat{a}$ всегда одни и те же целые числа (почему?), независимо от того, как строился $\hat{a}$ из $\hat{p}$ из $\hat{q}$ (если правильно строился).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 00:44 
Заморожен


24/06/14
358
amon в сообщении #1003983 писал(а):
Kirill_Sal в сообщении #1003951 писал(а):
собственных значений операторов $\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$.

Обращаю Ваше внимание на то, что оператор $\hat{a}$ не самосопряженный, посему, бабушка надвое сказала, что у него (и у $\hat{a}^{+}$) вообще есть хоть какие собственные значения. Собственные значения самосопряженного оператора $\hat{a}^{+}\hat{a}$ всегда одни и те же целые числа (почему?), независимо от того, как строился $\hat{a}$ из $\hat{p}$ из $\hat{q}$ (если правильно строился).


Из алгебры я помню, что корни характеристического полинома эрмитовой матрицы не зависят от выбора базиса.

А что касается операторов $a$, $a^+$, то при произвольном преобразовании они просто могут потерять свой смысл. Замените в них, например, $y$ на $-y$ и они перестанут соответствовать реальному магнитному полю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group