Восстановление системы дифференциальных уравнений

[Yu_K]

(Оффтоп)

Кстати линии уровня функции $x^5+y^5+z^5$ на поверхности сферы дают похожую картинку - только там центр, а не фокус получается в середине. А линии уровня $x^5+y^5+z^5=c$это некоторый первый интеграл дифференциальной системы.

.

[Yu_K]

DiMath в сообщении #1002263 писал(а):

dsge
Да, задача найти любые два полинома $P(x,y),Q(x,y)$, соответствующие этому фазовому портрету.

Поскольку на картинке 4 особых точки (состояния равновесия) - три седла и один фокус, то получается, что если все хорошо и регулярно - то кривые, описываемые уравнениями $P(x,y)=0,Q(x,y)=0$ должны пересекаться в этих 4-х точках. При этом внутрь треугольника (с вершинами в седловых точках) будут (через эти седла) входить три ветки этих кривых - при этом им надо как-то один пересечься внутри и выйти обратно через эти же седловые точки - но это как-то проблематично. Если бы было четыре седла вокруг, например http://www.math.missouri.edu/~bartonae/pplane.html

$$y'=\sin(x), x'=\cos(y)$$

тут все просто - а вот с тремя седлами не так все хорошо - хотя может я не прав.

[Sicker]

(Оффтоп)

А на картинке, если точка пойдет по стороне треугольника к вершине, где разветвляются два направления, то она рандомно его выберет?

[Oleg Zubelevich]

картинка соответствует гамильтоновой системе $H=\epsilon(x^2+y^2)/2+x^3-3xy^2$ с малым диссипативным возмущением

[Yu_K]

Да уж... две ветки гиперболы $P(x,y)=0$, достаточно близко лежащие к друг дружке и две скрещивающиеся прямые $Q(x,y)=0$ оказывается решают проблему. Я ждал когда придет Oleg Zubelevich - а он прятался - вот и пришлось поднять тему .

[DiMath]

Будет центр, а нужен фокус

[svv]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1002940 писал(а):

А на картинке, если точка пойдет по стороне треугольника к вершине, где разветвляются два направления, то она рандомно его выберет?

Эта точка разделится на две неравные части 1a и 1b, но каждая часть тут же сольется соответственно с частью 2a или 2b второй точки, подошедшей к вершине с другой стороны.

[Oleg Zubelevich]

DiMath в сообщении #1003216 писал(а):

Будет центр, а нужен фокус

для тех ,кто в танке и в каске:

Oleg Zubelevich в сообщении #1002945 писал(а):

с малым диссипативным возмущением

[Otta]

Oleg Zubelevich в сообщении #1002945 писал(а):

с малым диссипативным возмущением

Дык седловые соединения разрушатся.

[Oleg Zubelevich]

Дык надо взять гладкую функцию, которая больше нуля в треугольнике из сепаратрис, и равна нулю на границе этого треугольника и во всей плоскости вне треугольника, и домножить возмущение на эту функцию.

[DiMath]

Oleg Zubelevich

$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}=6xy-\varepsilon y \\ \dot{y}=3x^2-3y^2+\varepsilon x \\ \end{array} \right.$
Гамильтонова система получается такая. Вы можете, пожалуйста, объяснить что нужно еще добавить и в какое уравнение, чтобы получился фокус?

Спасибо.

[Otta]

Oleg Zubelevich
Полиномиальную?

[DiMath]

Вроде бы получилается что-то похожее, если взять $H=x^3-3xy^2+\varepsilon (x^2+y^2)+\mu xy$

[Otta]

DiMath
На что похожее? )) Вы смотрите гамильтонову систему? И у Вас в нуле теперь фокус?

[DiMath]

Otta
Посмотрите вот здесь http://www.math.missouri.edu/~bartonae/pplane.html

$x'=6xy-5y+0.4x$
$y'=5x+3x^2-3y^2+0.4y$

Разве получается не то, что нужно?