Строгое доказательство касания кривых

[redgr3en]

Добрый вечер, вопрос может быть тривиальный, но все же:

Две кривые $f(x)$ и $g(x)$ имеют единственную общую точку $A$, $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки $A$. Всюду в этой окрестности соблюдается условие $f(x)>g(x) (x \in U(A))$ во всех точках кроме $A$ ($f(A)=g(A)$, соответсвенно). Будут ли эти кривые касаться в этой точке $A$ (ну по идее будут же)? Как это строго доказать?

Ну допустим, хотя бы и вот так: https://www.dropbox.com/s/z6vnibe58sa9v ... 1.png?dl=0

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

redgr3en
А какое условие должно выполняться, чтобы было касание?

[redgr3en]

Otta, в этой общей точке $A$ у данных кривых должны совпасть касательные, верно?

[Евгений Машеров]

Рассмотрите $h(x)=f(x)-g(x)$

[Otta]

redgr3en
Ну это само собой, так когда они совпадут?

[redgr3en]

А, кажется понимаю. $h(x)=f(x)-g(x), h'(x)=f'(x)-g'(x)$. С другой стороны $h(x)$ имеет в $A$ минимум, а значит $h'(A)=0, f'(A)=g'(A)$, значит и касательные в точке совпадут. Так?

[Otta]

Можно и так.

[redgr3en]

Спасибо!